數學方法與思想

［摘 要］數學方法在現代科學技術的發展中已經成為一種必不可少的手段，幾乎所有的科研項目和工程項目都離不開它。這是因為數學方法能為科學技術研究提供簡潔精確的形式化語言，數學語言的運用把數學的抽象能力和精確性帶給了科學和技術。可以說在現代離開數學語言的運用，科學研究工作將寸步難行。

［關鍵詞］數學方法 數學思想方法 思想

［中圖分類號］O1 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009－5489(2008)01－159－02

數學方法的特點體現在它的高度的抽象性勝過任何科學思維所具有的抽象性。它只保留了事物量的關系和空間形式。數學方法的邏輯的嚴格性和結論的確定性比任何方法都精確，數學研究能在純粹化的狀態中進行，從而使它獲得了單義性、直觀性和獨立性。數學方法還具有應用的普遍性，這主要是它的高度抽象性的原因，當然，對不同性質的事物，運用數學方法的要求和可能性是不同的，它既取決于科學技術發展的狀況，又取決于數學本身發展的水乎。

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中，是對數學規律的理性認識。布魯納指出，掌握基本數學思想和方法能使數學更易于理解和更易于記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。從更基本的意義上講，數學學習不僅是指具體的數學知識、解題技能和技巧的學習，更是一種思維模式、思想方法的學習。中學數學中比較重要的思想方法有：符號思想、映射思想、化歸思想、分類討論的思想、轉換思想等。在中學數學教材中，數學思想方法滲透其間，并沒有系統的歸納和總結，也沒有充分的講解和討論。教師在教學中也往往忽略對數學思想方法的教學時機的把握。或滯后于學生的學習；或脫離基礎知識的學習；或蜻蜓沾水一觸即逝；或嘩眾取寵的在課后小結中列出幾個名詞。而對怎樣挖掘基礎知識中的數學思想方法，如何自覺地滲透數學思想方法的教學，如何堅持不懈地培養學生數學思想方法的應用意識缺乏系統的探究，致使學生對基礎知識的學習僅限于理解概念，記住公式、定理，模仿性解題這些淺層次水平上，很難培養出高素質的創新型人才。

一、數學思想方法教學意義的認識

第一，“懂得基本原理使得學科更容易理解”。心理學認為“由于認知結構中原有的有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習。”當學生掌握了一些數學思想、方法，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了，下位學習所學知識“具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學生已有的認知結構中去，學生學習了數學思想、方法就能夠更好地理解和掌握數學內容。

第二，有利于記憶。布魯納認為，“除非把一件件事情放進構造得好的模型里面，否則很快就會忘記，”“學習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來，高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具。”由此可見，數學思想、方法作為數學學科的“一般原理”，在數學學習中是至關重要的。無怪乎有人認為，對于中學生“不管他們將來從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”

第三，學習基本原理有利于“原理和態度的遷移”。布魯納認為，“這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識。”曹才翰教授也認為，“如果學生認知結構中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學習是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現遷移。”美國心理學家賈德通過實驗證明，“學習遷移的發生應有一個先決條件，就是學生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學習中。”學生學習數學思想、方法有利于實現學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。

第四，強調結構和原理的學習，“能夠縮挾高級’知識和‘初級’知識之間的間隙。”一般地講，初等數學與高等數學的界限還是比較清楚的，特別是中學數學的許多具體內容在高等數學中不再出現了，有些術語如方程、函數等在高等數學中要賦予它們以新的涵義。而在高等數學中幾乎全部保留下來的只有中學數學思想和方法以及與其關系密切的內容，如集合、對應等。因此，數學思想、方法是聯結中學數學與高等數學的一條紅線。

中學數學教材所涉及到的數學思想方法和數學知識點匯成了數學知識結構系統的兩條“河流”，具體知識是外顯的“明河流”，數學思想方法則是內隱的“暗河流”，但它是獲取數學知識，發展數學素質的動力工具。有了數學思想方法，數學知識便不再是孤立的、零散的東西，其整體強度會增加。因此，教師在教學過程中，善于發現和總結知識形成過程中所運用的數學思想方法，讓沉重反復體驗和總結數學思想方法在其中的指導作用，就會在他們各自的潛意識中打下深深的數學思想方法的烙印，自覺或不自覺地運用到解決問題的過程中去，分析問題、解決問題的思維角度和層次就會大大提高。

二、對數學思想方法教學策略的認識

1.提高滲透數學思想方法的意識

數學思想方法作為基礎知識的重要組成部分，這是新大綱體現義務教育性質，提高學生的數學素質的一大舉措。由于數學思想方法的呈現形式常常是隱蔽的；學生難以從教材中獲取，要求教師必須深入研究教材，努力挖掘教材在各個環節中所滲透的數學思想方法，提出相應的具體要求。在階段復習時，要注意總結概括，加強各知識點與數學思想方法的聯系，突出數學思想方法的策略。

2.把握滲透數學思想方法的契機

數學知識的形成過程，往往也是數學思想方法的形成過程，在教學中，教師向學生充分展示知識的形成過程，讓學生反復體驗其中數學思想方法的導向功能，就會在學生思維意識中打下數學思想方法的烙印，從而上升為數學形為背后的內驅力，優化數學學習及研究的進程。

3.注意形成體系

數學思想方法的認識結構的形成必將遵守循序漸進的原則，經過反復總結、概括，才能使學生真正領悟到。應不失時機地進行系統總結，概括，闡明其中的作用。明確各知識點中隱含著哪種數學思想，如何設計滲透數學思想方法的教學過程。注重階段性歸納，概括，從而形成數學思想方法體系，以利于鞏固、運用和提高。

數學思想方法是學生獲取數學知識，發展思維能力的動力工具。教學中要注意有意識、有目的地結合數學知識，恰到好處地設置問題系列，反復運用數學思想方法，并不斷在解決問題的過程中得到深化，學生的數學素質就會相應提高。

［參考文獻］

［1］胡炯濤：《數學教學論》，廣西教育出版社1996年版。

［2］源流：《發散思維大課堂高三數學》，龍門書局2004年版。

［3］儲昌國、駱洪才：《中學數學方法與問題解決》，《郴州師范高等專科學校學報》2002年第5期。

［4］胡炳生、王忠漢等：《國際數學奧林匹克(IMO)三十年》，中國展望出版社1989年版。