巧“換數(shù)” 妙求值

在求函數(shù)值域的眾多方法中，有一種“換數(shù)法”，它可以求出很多復(fù)雜函數(shù)的值域，下面列舉數(shù)例說(shuō)明它的操作過(guò)程和在解題上的巨大優(yōu)越性．

例1（2008年重慶理）函數(shù)f（x）＝（0≤x≤2π） 的值域是（）

A． ［－，0］ B． ［－1，0］

C． ［－，0］D．［－，0］

解析：由于1＝sin2x＋cos2x，所以3＝1＋2＝sin2x＋cos2x＋2，將此關(guān)系帶入已知條件的分母中可得f（x）＝，進(jìn)一步將其變形為f（x）＝． 當(dāng)sinx－1＜0時(shí)，分子分母同時(shí)除以sinx－1可得f（x）＝ －，易知函數(shù)u（x）＝∈［0，＋∞），從而f（x）＝－∈［－1，0）；當(dāng)sinx－1＝0時(shí)， f（x）＝0．

綜上可知f（x）∈［－1，0］，選擇B．

點(diǎn)評(píng)：在解答過(guò)程中我們將數(shù)字3替換成了sin2x＋cos2x＋2，這是解本題最關(guān)鍵的一步，因?yàn)榻?jīng)過(guò)這樣的換數(shù)處理之后，分母根號(hào)內(nèi)恰好可以配成兩個(gè)完全平方. 當(dāng)然數(shù)字3還有其他的替換方法，如3＝3sin2x＋3cos2x，3＝2sin2x＋2cos2x＋1等，但是這些替換方法對(duì)解決本題沒(méi)有太多的幫助．

例2（2008年重慶文）函數(shù)f（x）＝（0≤x≤2π）的值域是（）

解析：因?yàn)?＝1＋4＝sin2x＋cos2x＋4，帶入已知式中可得f（x）＝＝，若sinx＝0， f（x）＝0；

若sinx＞0， f（x）＝，因?yàn)椤剩郏蓿?f（x）∈0，

；

若sinx＜0， f（x）＝－，因?yàn)椤剩ǎ蓿荩?所以 f（x）∈－

，0．

綜上f（x）∈

－，

，選擇C．

例3若x2＋y2＝169，則f（x，y）＝＋的最大值為多少？

解析：注意到338＝169＋169＝x2＋y2＋169，將原式變形為f（x，y）＝＋，進(jìn)一步化為f（x，y）＝＋，即為圓x2＋y2＝169上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（5，－12）和（－5，－12）距離之和的最大值，結(jié)合圖形分析易知答案為10．

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)競(jìng)賽題，也是關(guān)于換數(shù)法的一個(gè)經(jīng)典題目. 此題用其他任何方法都很難解出，體現(xiàn)了“換數(shù)”的巨大威力．

很多與三角函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題，經(jīng)過(guò)換數(shù)處理之后都能成功解出，常規(guī)的三角函數(shù)值域問(wèn)題：“asinx＋bcosx”的值域如何求？一般都是用輔助角公式來(lái)解答，其實(shí)用換數(shù)思想也能處理此類(lèi)問(wèn)題．我們將其變形為asinx＋bcosx＝sin2x＋asinx＋cos2x＋bcosx－1，進(jìn)一步化為asinx＋bcosx＝sin

，

－距離的最值問(wèn)題，結(jié)合圖形很容易求出答案．