概率中的“臭皮匠”與“諸葛亮”

張遠南：福建福州人，中學數學特級教師，著名科普作家，曾獲全國優(yōu)秀科技輔導員、蘇步青數學教育獎（個人）、國務院特殊津貼獎，現(xiàn)任福建數學會常務理事、福建初等數學研究會常務理事、福建中學數學教學研究會副理事長。

常言道：“三個臭皮匠，頂個諸葛亮.”這是對人多辦法多，人多智慧高的一種贊譽．但是，當人們得知這一富有哲理的話語，可以用概率的理論定量地加以證明時，一定都會對此深感意外！

為了讓同學們確信這一點，我們先介紹一下兩個事件的獨立性概念：如果一個事件的出現(xiàn)與另一個事件的出現(xiàn)無關，我們就說這兩個事件是相互獨立的．例如，甲的思維與乙的思維，只要沒有預先商討過，便是獨立的；又如兩次射擊，第一次射擊命中與第二次射擊命中也是相互獨立的．假定我們用AB表示事件A與事件B同時發(fā)生，那么當事件A與B互相獨立時，我們有：P（AB）=P（A）·P（B）．事實上，這個結論可以從圖1直觀地反映出來．對于3個以上的兩兩獨立事件，類似地我們有：P（AB…C）=P（A）·P（B）…P（C）．

現(xiàn)在回到3個“臭皮匠”的問題．假定“臭皮匠”A獨立解決問題的把握為P（A），“臭皮匠”B和C獨立解決問題的把握分別為P（B）和P（C）．如果“臭皮匠”只有兩個，那么某一問題能被兩者之一解決的可能性有多大呢？讓我們仍從圖形的分析開始吧！為方便起見，我們用陰影區(qū)域的面積表示相應事件的概率（如圖2所示）．那么，從圖中我們立即看到：

P（A或B）=P（A）+P（B）-P（AB）．

注意到“臭皮匠”們對問題的思考是各自獨立的，這樣我們又有：

P（A或B）=P（A）+P（B）-P（A）·P（B）．

重復使用上面的公式，就能得到一個問題被3個“臭皮匠”之一解決的可能性大小的計算式：P（A或B或C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（A）P（B）-P（B）P（C）-P（C）P（A）+P（A）P（B）P（C）．

舉個例子來說，若P（A）=0.45，P（B）=0.55，P（C）=0.60，即3人的解題把握都大致只有一半，但當他們總體解題時，能被3人之一解出的可能為：P（A或B或C）=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901．

看，3個并不聰明的“臭皮匠”居然有90％以上的把握解出問題，聰明的“諸葛亮”也不過如此！

上面我們是從“臭皮匠”們解題把握的大小來分析的．其實，如果從他們不能解決問題的角度來分析，所得的結果將更簡潔、更精辟．事實上，如果某一事件出現(xiàn)的概率為P，那么該事件不出現(xiàn)的概率必定為（1-P）．這樣，3個“臭皮匠”同時不能解決問題的概率為［1－P（A）］·［1－P（B）］·［1－P（C）］．用全部可能的1，減去都不能解決的可能性，當然就得到至少有一人解決的可能性，即P（A或B或C）=1－［1－P（A）］·［1－P（B）］·［1－P（C）］．式子展開的結果跟前面的公式是一樣的，但計算要簡單得多，如上例：P（A或B或C）=1-[1-0.45]·[1-0.55]·[1-0.60]=1-0.55×0.45×0.40=0.901．而且，當“臭皮匠”的人數增多時，這種算法的優(yōu)勢將更加明顯，若此時用前一種算法計算將會不勝其煩．

又如，10個剛參加軍訓的學生，每人打靶的命中率都只有0．3，這樣的命中率應該說是很低的了．但如果朝同一目標射擊，那么根據上面的式子，目標被擊中的概率為P=1-（0.7）10≈0.97．也就是說，目標基本上會被擊中．可見人多不僅智慧高，而且力量大，“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”所言并不過分．