特別聚焦：２００８年全國高考數學（理科卷Ⅰ）

總攬全局

2008年全國高考數學理科卷Ⅰ試題嚴格遵循《考試大綱》的要求，在考查基礎知識的同時，側重對邏輯思維、運算技巧等能力的考查． 本套試題堅持重點知識重點考查的原則，如涉及函數和解析幾何的題目各有6個，涉及立體幾何的題目有3個；重視考查數學能力，如第2、12、20等題考查閱讀能力和對實際問題的分析能力，第11、16、18等題考查空間想象能力，第21、22等題考查邏輯推理能力，尤為需要指出的是本套試題加強了對運算能力的考查；突出考查數學思想方法，如第5、17等題體現了函數與方程的思想，第9、10、13等題體現了數形結合的思想，第12、19等題體現了分類討論的思想，轉化思想貫穿整套試題． 此外，本套試題還對定義法、換元法、數學歸納法等解題方法進行了考查．

變化之處

本套試題與往年相比，在相對穩定的前提下也有一定的變化，具體表現為：（1）命題內容有調整，取消了對簡易邏輯和二項式定理的考查，增加了對直線與直線及直線與圓位置關系的考查，加大了對函數圖象和求導及立體幾何中角和距離求解問題的考查力度；（2）命題綜合性加強，如以函數形式考查集合運算與不等式的求解，考查反函數與函數平移的綜合問題，在圓錐曲線與余弦定理等知識交匯處命題；（3）思維量增加，如客觀題中的立體幾何題均為不規則幾何體，要求同學們具備很強的空間想象能力，概率題對閱讀和分析能力提出了更高的要求，另外整張試卷的運算量明顯增加．

創新盤點

本套試題也不乏創新之處． 如第2題以實際問題為背景，研究兩個變量之間的函數關系，判定圖象特征，考查觀察、提煉的轉化能力；第7題是用求導的方法，解決曲線位置關系的問題，給人豁然開朗的感覺；第10題看似點與直線位置關系的問題，但深入研究會發現，其實是考查直線與圓的位置關系的問題．

命題趨勢

高考命題將在嚴格遵循考試大綱的基礎上，穩中求變，在強調主干知識的基礎上，注重能力立意，加強數學思想的滲透，突出考查同學們的基本素質和探究創新意識．命題的具體內容如下：從客觀題來看，（1）基礎題包含集合的關系與基本運算、簡易邏輯中充要條件的判定、三角函數公式求值或圖象平移、平面向量的運算、二項式定理的應用、復數的簡單計算等；（2）中檔題包含函數單調性、奇偶性、周期性的綜合應用，等差或等比數列性質的應用，三角函數與向量綜合應用，解斜三角形，線性規劃等；（3）較難題包含數列、函數與不等式的綜合題，立體幾何中角和距離的求解問題，對球或不規則幾何體的考查，解析幾何中二次曲線與直線相結合的試題等． 這些內容一方面考查同學們對基礎知識掌握的準確程度和基本運算的熟練程度，另一方面考查解決基本題型的思維策略，體現同學們的解題能力和數學思想方法的運用能力，另外還考查同學們具體解題策略的掌握程度，如特殊值法、數形結合法、整體思考法等． 從解答題來看，（1）對三角函數圖象與性質的考查一般作為基礎題，重點考查三角函數公式，正余弦定理的運用；（2）實際問題將仍然以概率知識考查為主，重點考查等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復事件的區別，另外還可能涉及排列組合、期望與方差等知識，重點考查同學們的抽象概括能力；（3）立體幾何屬于中檔題，以空間位置關系的判定及空間角與距離的求解為主要形式，考查同學們的空間想象能力和邏輯推理能力；（4）函數與導數的題目多以中檔題的形式出現，主要考查借助導數研究函數的單調性，還會涉及最值與參數范圍等問題，同時考查分類討論的數學思想；（5）解析幾何屬于較難的試題，涉及曲線方程的確定、位置關系的判定與應用等，經常與向量知識相結合，對同學們的運算能力提出了較高要求；（6）數列題為壓軸題，會與函數、不等式等知識相結合進行命題，綜合性很強，解題時，一是看能否轉化為等差、等比數列來處理，二是注意運用歸納與猜想、等價轉化、分類討論等思想方法．

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1． 函數y=＋的定義域為（）

A． ｛x｜x≥0｝B． ｛x｜x≥1｝

C． ｛x｜x≥1｝∪｛0｝ D． ｛x｜0≤x≤1｝

2． 汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是（）

[s][s][s][s][t][t][t][t][O][O][O][O][A B][C D]

3． 在△ABC中，＝c，＝b． 若點D滿足＝2，則等于（）

A． b＋c B． c－b

C． b－c D． b＋c

4． 設a∈R，且（a＋i）2i為正實數，則a等于（）

A． 2B． 1C． 0 D． －1

5． 已知等差數列｛an｝滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10等于（）

A． 138B． 135C． 95D． 23

6． 若函數y＝f（x－1）的圖象與函數y＝ln＋1的圖象關于直線y＝x對稱，則f（x）等于（）

A． e2x－1B． e2xC． e2x＋1 D． e2x＋2

7． 設曲線y＝在點（3，2）處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于（）

A． 2B．C． － D． －2

8． 為得到函數y＝cos2x

＋的圖象，只需將函數y＝sin2x的圖象（）

A． 向左平移個長度單位

B． 向右平移個長度單位

C． 向左平移個長度單位

D． 向右平移個長度單位

9． 設奇函數f（x）在（0，＋∞）上為增函數，且f（1）＝0，則不等式＜0的解集為（）

A． （－1，0）∪（1，＋∞）B． （－∞，－1）∪（0，1）

C． （－∞，－1）∪（1，＋∞） D． （－1，0）∪（0，1）

10． 若直線＋＝1通過點M（cosα，sinα），則（）

A． a2＋b2≤1B． a2＋b2≥1

C． ＋≤1D． ＋≥1

11． 已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．B．C．D．

12． 如圖1，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）

A． 96 B． 84 C． 60 D． 48

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13． 若x，y滿足約束條件x＋y≥0，

x－y＋3≥0，

0≤x≤3， 則z＝2x－y的最大值為__________．

14． 已知拋物線y＝ax2－1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為_______．

15． 在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－． 若以A，B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率e＝__________．

16． 等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C－AB－D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點，則EM，AN所成角的余弦值等于________．

三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17． （本小題滿分10分）

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB－bcosA＝c．

（Ⅰ）求tanAcotB的值；

（Ⅱ）求tan（A－B）的最大值．

18． （本小題滿分12分）

如圖2，四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC．

[B][A][D][E][C]

圖2

（Ⅰ）證明：AD⊥CE；

（Ⅱ）設CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C－AD－E的大小．

19． （本小題滿分12分）

已知函數f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）設函數f（x）在區間

－內是減函數，求a的取值范圍．

20． （本小題滿分12分）

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物． 血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病． 下面是兩種化驗方法：

方案甲，逐個化驗，直到能確定患病動物為止．

方案乙，先任取3只，將它們的血液混在一起化驗． 若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．

（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數，求ξ的期望．

21． （本小題滿分12分）

雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點． 已知

，

，

成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

22． （本小題滿分12分）

設函數f（x）＝x－xlnx． 數列｛an｝滿足0＜a1＜1，an＋1＝f（an）．

（Ⅰ）證明：函數f（x）在區間（0，1）是增函數；

（Ⅱ）證明：an＜an＋1＜1；

（Ⅲ）設b∈（a1，1），整數k≥． 證明：ak＋1＞b．

參考答案見P62