三角函數與向量知識查漏補缺自測表

三角函數是基本初等函數，也是描述周期現象的重要數學模型. 向量是數形結合的典范，更是高中數學知識體系中一個重要的工具. 縱觀近幾年高考，這兩部分知識不僅在解斜三角形問題中得到了充分的應用，而且還與不等式、數列等內容相結合，使命題的靈活性增強. 筆者現將這兩部分知識點和應該注意的問題列舉如下，希望對同學們有所幫助.

（1）了解任意角的概念、弧度的意義.

（2）能夠正確換算弧度與角度.

題型：以選擇題或填空題為主，考查弧度、角度的定義和相互換算.

注意：（1）終邊相同的角的集合的表示方法，蘊含順、逆時針旋轉整數圈的意義.

（2）弄清各三角函數在每個象限中的符號，互為倒數的三組要分別記憶，口訣為“一全二正（弦）三切四余（弦）”.

（1）掌握同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和與差公式、二倍角公式以及輔助角公式等.

（2）會運用公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式的證明；能結合三角形的性質，利用相關的三角函數公式證明三角形的邊角關系式.

（3）合理選擇正弦、余弦定理，并結合三角形的性質解斜三角形問題和實際應用問題.

題型：各題型都可能出現.

注意：（1）三角函數化簡求值題目中最常用的公式是sin2θ＋cos2θ＝1.

（2）在用誘導公式求三角函數值之前，應考慮周期性和奇偶性等性質，并化簡所求角的形式. 熟記口訣“奇變偶不變，符號看象限”，把所有角的三角函數值換算到銳角所對應的函數值中，特別注意特殊銳角（如30°，60°等）的各三角函數值.

（3）掌握公式的變形應用和角的靈活拆分，如tanα±tanβ＝tan（α±β）（1#8723;tanαtanβ），2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β等.

（4）通過全等三角形判定定理，理解斜三角形“邊邊角”型的問題可能有兩解、一解和無解三種情況. 根據已知條件判定解的情形，是難點之一.

（1）掌握正弦、余弦、正切函數的圖象特征和各種性質（特別是周期性）.

（2）理解函數y＝Asin（ωx＋φ）中A，ω，φ的物理意義，掌握函數的圖象及其變換.

題型：仍以選擇、填空題為主，有時也會出現以函數性質為主，并結合圖象的綜合性解答題.

注意：（1）所有函數圖象的變化都是針對單獨的“x”而言. 特別注意伸縮變換中，橫坐標的變換系數跟解析式的系數剛好成倒數.

（2）y＝sinx與y＝Asin（ωx＋φ）的圖象之間的互相轉換有兩種方式，即先平移后伸縮、先伸縮后平移.

（3）y＝Atan（ωx＋φ）型函數的周期為T＝.

（4）在求y＝Asin（ωx＋φ）的單調區間時，要先把x的系數ω調整為正值，才不會出錯.

（5）兩個相鄰對稱軸或對稱中心之間的距離為周期的一半，相鄰對稱軸和對稱中心的距離為周期的四分之一.

（6）求值域的常用方法，即先將所給的三角函數轉化為二次函數，再通過配方法求值域，如對y＝asin2x＋bsinx＋c型函數，應利用sinx，cosx的有界性求值域.

（1）掌握向量的基本概念、幾何表示以及各種運算（如加法、減法、實數與向量的積、向量的數量積以及對應的坐標運算等）.

（2）理解兩個向量共線的充要條件和平面向量的基本定理.

題型：對基礎知識的考查一般以客觀題為主；對數量積的重點考查則以解答題的形式出現，綜合性強，難度大.

注意：（1）兩個向量的模長可以比較大小，但方向則沒有大小，因此“大于”和“小于”的概念對于向量無意義.

（2）清楚零向量的特殊性（如方向不確定等）.

（3）同一個向量有模長為1且方向相同或相反的兩個單位向量.

（4）相等向量必須是模長相等且方向相同的向量，兩個條件缺一不可.

（5）兩向量平行即兩向量共線.

（6）運用三角形法則時應注意加法是“首尾相連”，減法是“首相連”.

中，等號成立的條件可以解決許多相關問題.

（8）A，B，C三點共線#8660;＝t＋k（其中O為平面中任意一點，t＋k＝1）. 任意交換A，B，C的位置，該充要條件仍然成立.

（9）特別注意數量積的運算. ①結合律對數量積不成立，即（a·b）·c≠a·（b·c）；②由a·b＝b·c，不能推出a＝c，因為前者是實數等式，后者是向量等式，二者不能等價；③當a≠0時，a·b＝0不能推出b一定是零向量，因為還有非零向量與a垂直的情況.

（1）熟記定比分點公式，中點、重心坐標公式.

（2）熟練運用平移公式.

題型：以客觀題為主，考查向量的應用.

注意：（1）定比分點公式可證明三點共線的問題.

（2）可利用配方法和待定系數法找出平移向量，從而化簡二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與形如y＝（a≠0）的函數解析式.

（3）點A（x，y）按向量a＝（h，k）平移可得到點A′（x＋h，y＋k），而函數y＝f（x）按此向量平移后的解析式為y－k＝f（x－h）.