華中師大一附中 長沙一中月考試卷調研（文科卷）

［試卷報告］#9654;

本套試卷在考查基礎知識和基本技能的基礎上，注重考查同學們數學思維能力和應用數學知識分析問題、解決問題的能力. 該試卷所涉及的知識主要是不等式、直線和圓的方程、圓錐曲線方程，各部分知識的試題量分配合理，符合高考的要求，題型設置恰當，考試內容覆蓋面較大. 題量和難度適宜，題目安排基本上由易到難，有較好的區分度. 其命題有如下特點：

一、立足基礎

本套試卷緊扣《考試大綱》，側重對基礎知識與基本方法的考查，突出數學的通性通法，如第2題考查基本不等式的解法，第5題考查不等式的性質，第20題考查利用均值不等式求最值的方法；第7題考查直線和圓的位置關系，第13題考查直線方程的求法；第17題考查圓的方程的求法；第14題考查線性規劃求最值的問題；第6題考查雙曲線的基本性質，第8題考查橢圓方程的求法，第19題考查直線和雙曲線的位置關系．

二、合理創新

本套試卷最大的亮點在于創新，合理地將各部分知識整合在一起，如第10題看似解析幾何問題，實則考查不等式，利用等式中隱含的不等關系來求范圍；第11題解法巧妙，若同學們直接利用直線和雙曲線的位置關系通過建立方程求解，則掉入了命題者的陷阱；第16題設計新穎，以解析幾何知識為背景，通過橢圓的第一定義考查數列求和的問題．

難度系數：★★★☆

區分度：★★★

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1． 已知集合M＝｛（x，y）x＋y＝3｝，N＝｛（x，y）x－y＝－1｝那么集合M∩N為（）

A． x＝1，y＝2B． （1，2）C． ｛1，2｝D． ｛（1，2）｝

2． 不等式≤0的解集是（）

A． （－∞，－1）∪（-1，2］ B． ［-1，2］

C． （－∞，－1）∪［2，+∞）D． （-1，2］

3． 直線y＝x截圓（x－）2＋y2＝2所得的弦長為（）

A． 1B．C． 2D． 2

4． 正項等比數列｛an｝滿足：a1·a15＝16，則a6＋a10的最小值為（）

A． 16 B． 8 C． 6 D． 4

5． 設a＞b，那么下列說法正確的是（）

A． a2－b2＞0B． －＜0

C． sina－sinb＞0D． ea－eb＞0

6． “雙曲線的方程為－＝1”是“雙曲線的準線方程為x＝±”的（）

A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件

C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件

7． 已知向量a＝（2cosα，2sinα），b＝（3cosβ，3sinβ），a與b的夾角為60°，則直線xcosα－ysinα＋＝0與圓（x－cosβ）2＋（y＋sinβ）2＝的位置關系是（）

A． 相切 B． 相交 C． 相離 D． 隨α，β的值而定

8． 設橢圓＋＝1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為（）

A． ＋＝1 B． ＋＝1 C． ＋＝1 D． ＋＝1

9． 已知直線l1:x＋y＋1＝0，l2:2x＋2y－6＝0，P（x，y）為坐標平面上的動點，若P到l1和l2的距離分別記為d1，d2，則d＋d的最小值為（）

A． B． 2C． 4D． 2

10． 直線ax＋by－4＝0（a，b∈R，a，b不同時為0）經過圓x2＋y2－4x＋2y＋5＝2a－a2的圓心，則ab的取值范圍是（）

A． （0，2）B． （0，＋∞） C． ［－2，＋∞）D． ［－2，0）

11． 過雙曲線2x2－y2＝6的右焦點作直線l交雙曲線于A，B兩點，若AB＝4，則這樣的直線存在的條數是（）

A． 1條 B． 2條 C． 3條 D． 4條

12． 已知點M（a，b）在由不等式組x≥0，

y≥0，

x＋y≤2確定的平面區域內，則點N（a＋b，a－b）構成的平面區域的面積是（）

A． 2 B． 4 C．D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

13． 已知直線l1:y＝x＋2，直線l2過點P（－2，1），且l1到l2的角是45°，則直線l2的方程是．

14． 已知實數x，y滿足x＋y－4≤0，

x－2y≤0，

x≥2，則z＝x－y的最大值是 ．

15． 當x∈（1，2）時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是．

16． 把橢圓＋＝1的長軸AB分成8等分，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7 7個點，F是橢圓的焦點，則｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝．

三、解答題：本大題共6小題，共74分．

sinθ，1，其中θ∈0

，．

（Ⅰ）求a·b－c·d的取值范圍；

（Ⅱ）若函數f（x）＝｜x－1｜，比較f（a·b）與f（c·d）的大小．

19． （12分）已知傾斜角為45°的直線l過點A（1，－2）和點B，其中B在第一象限，且AB＝3．

（Ⅰ）求點B的坐標；

（Ⅱ）若直線l與雙曲線C：－y2＝1（a＞0） 相交于不同的兩點E，F，且線段EF的中點坐標為（4，1），求實數a的值．

20． （12分）某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級污水處理池（平面圖如圖1所示），池的深度一定，池的四周圍壁建造單價為400元/m，中間兩道隔壁建造單價為178元/m，池底建造單價為75元/m2，池壁厚度忽略不計．

（Ⅰ）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

（Ⅱ）如果受地形限制，污水處理池的長和寬都不能超過15 m，那么污水處理池的長和寬各為多少時，可使總造價最低？

21． （12分）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2，對應焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，OF＝2FA，過點A的直線與橢圓相交于P，Q兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）若·＝0，求直線PQ的方程．

22． （12分）已知兩定點F1

－，0，F2

，0，滿足條件

－

＝2的點P的軌跡是曲線E，直線y＝kx－1與曲線E交于A，B兩點．

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）如果AB＝6，且曲線E上存在點C，使＋＝m，求m的值和△ABC的面積S．

參考答案見P62