打通概率統(tǒng)計與排列組合三關節(jié)

概率統(tǒng)計與排列組合是每年高考必考的內容，其考查要求比較基礎. 排列組合是學習概率的基礎，通常以選擇題或填空題的形式出現在試卷上，它聯(lián)系實際，生動有趣，題型多樣，解法靈活. 概率統(tǒng)計則是以排列組合為基礎，對隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律進行研究的學科，它在研究方法上與以往所學的分析方法有所不同. 有很多同學在初學概率時感到不適應，對概念和公式的理解不透徹，經常出錯. 筆者現對同學們學習概率統(tǒng)計與排列組合時的三種癥狀進行分析，有針對性地提出解排列組合與概率統(tǒng)計題的突破方法.

癥狀一 ＞＞

概念記憶有誤

表現不清楚排列組合與概率統(tǒng)計的思維誤區(qū)，導致錯解基本概念問題（如分步問題錯解成分類問題，分類問題錯解成分步問題等）.

癥結對概念的理解不到位，對必要的基礎知識不能完整地保留在頭腦里，致使記憶發(fā)生了偏差，從而不能正確解題.

突破之道應加強對基礎知識的系統(tǒng)化記憶，以及對解題模式和解題方法的歸納，并對相關知識進行對比記憶.

例1甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙兩人依次各抽一題.

（Ⅰ）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？

（Ⅱ）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？

解析：甲、乙二人依次抽題是分步問題而不是分類問題，在解題時需要注意.

（Ⅰ）甲從選擇題中抽到一題的可能結果有C個，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結果有C個，故甲抽到選擇題，乙依次抽到判斷題的可能結果有CC個，又甲、乙依次抽一題的結果有CC個，所以甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率為＝，即所求概率為.

（Ⅱ）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為＝，故甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率為1－＝，即所求概率為.

例2在所有的兩位數中，個位數字比十位數字大的兩位數有多少個？

解析：本題則是分類討論問題. 通過分析個位數字，可得個位是9，則十位可以是1，2，3，…，8中的一個，故有8個；同理，個位是8的有7個；…個位是2的有1個. 由分類計數原理知，滿足條件的兩位數有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36個.

癥狀二 ＞＞

缺乏對公式的應用能力

表現不會應用公式，拿到題目時不知從何處下手.

癥結沒有正確理解公式的應用條件，遇到具體題目時不能準確判斷事件的類型（如相互獨立事件、互斥事件等），從而分不清什么情況下該用哪個公式.

突破之道正確理解公式的應用條件，重視對公式的對比分析，并加強對比題目的練習.

例3某會議室用五盞照明燈，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同，假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為P1，壽命為2年以上的概率為P2，從使用之日起每滿一年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換.

（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換兩只燈泡的概率；

（Ⅱ）求在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，該盞燈需要更換燈泡的概率；

（Ⅲ）當P1＝0.8，P2＝0.3時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率. （結果保留兩位有效數字）

解析：（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，不需要更換燈泡，意味著這五只燈泡都使用一年以上，且每只燈泡好壞相互獨立，所以不需要更換燈泡的概率為P15. 因此，在第一次燈泡更換工作中，需要更換兩只的概率為CP13（1－P1 ）2.

（Ⅱ）對該盞燈來說，分為兩類. 一類是第一、二次都更換了燈泡，概率是（1－P1）2；二類是第一次未更換燈泡而第二次需要更換，即該燈泡的使用壽命超過一年且沒超過兩年的概率為P1（1－P2）. 所以，所求概率為P＝（1－P1）2＋P1（1－P2）.

（Ⅲ）當P1＝0.8，P2＝0.3時，在第二次燈泡更換工作中，每只燈泡更換的概率為P＝（1－0.8）2＋0.8（1－0.3）＝0.6. 至少換4只燈泡應包括換5只和換4只. 換5只的概率為P5，換4只的概率為CP 4（1－P）. 所以，至少更換4只燈泡的概率為P3＝P 5＋CP 4（1－P）＝0.65＋5×0.64×（1－0.6）≈0.34，即滿兩年至少需要更換4只燈泡的概率為0.34.

例4已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球. 現從甲、乙兩個盒內各任取2個球.

（Ⅰ）求取出的4個球均為黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.

解析：（Ⅰ）設“從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件B.

由于事件A，B相互獨立，且P（A）＝＝，P（B）＝＝，故取出的4個球均為黑球的概率為P（A·B）＝P（A）·P（B）＝×＝.

（Ⅱ）設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D.

由于事件C，D互斥，且P（C）＝·＝，P（D）＝·＝，故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝＋＝.

癥狀三 ＞＞

缺乏對題意的理解能力

表現求解數學期望時，找不準隨機變量及其可能的取值，導致解題出錯.

癥結對題意的理解不夠深刻，對題型也不夠熟悉.

突破之道認真理解隨機變量的概念，平時做題時應加強對題意的理解，多做題，多總結.

例59粒種子分種在3個坑內，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若1個坑內至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，若1個坑里的種子都沒有發(fā)芽，則這個坑需要補種. 假定每個坑至多補種一次，每補種一個坑需10元，用ξ表示費用，寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望. （精確到0.01）

解析：因為某個坑內的3粒種子都不發(fā)芽的概率為（1－0.5）3＝，所以該坑不需要補種的概率為1－＝. 故3個坑都不需要補種的概率為C×

所以隨機變量ξ可能的取值為0，10，20，30. 故分布列為

[ξ \\0\\10\\20\\30\\P\\0.670\\0.287\\0.041\\0.002\\]

故數學期望Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.

例6一名博彩者放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規(guī)則：凡愿意摸彩者，每人交1元錢作為“手續(xù)費”，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：

[摸5個球\\中獎發(fā)放產品\\有5個白球\\1個帽子（價值20元）\\恰有4個白球\\1張賀卡（價值2元）\\恰有3個白球\\紀念品（價值0.5元）\\其他\\同樂一次（無任何獎品）\\]

試計算：（Ⅰ）摸一次能獲得20元獎品的概率；

（Ⅱ）按摸10 000次統(tǒng)計，這個人能否賺錢？如果賺錢，求出凈賺多少錢. （精確到1元）

解析：在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一個隨機變量，而他能否賺錢，就看該隨機變量的期望是否大于0.

（Ⅰ）摸一次能獲得20元獎品的概率為P＝＝.

（Ⅱ）如果把摸到白球的個數作為隨機變量ξ，則P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝2）＋P（ξ＝1）＋P（ξ＝0）＝.

由于博彩者的收入這一隨機變量η（可能是負數值）有－19元，－1元，0.5元，1元四種可能，故分布列為

[η \\－19\\－1\\0.5\\1\\P\\\\\\\\\\]

所以隨機變量η的期望Eη＝（－19）×＋（－1）×＋0.5×＋1×≈0.431 8，故這個人可以賺錢，且10 000次凈收入的期望為4 318元.