莫怕立體幾何難 牢記對策能過關

立體幾何是平面幾何的延伸，也是高中數學的重要內容之一. 近年來，高考中的立體幾何不僅側重于對線線、線面、面面的各種位置關系的基礎考查， 更加重了對空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力以及運算能力的考查. 在高中數學的學習過程中，同學們普遍反映幾何比代數難學，其根本原因在于從初中的平面圖形知識過渡到高中的空間圖形知識，本身就是一個難點，再加上這部分內容的基本概念相對集中和抽象，于是就要求同學們具備一定的空間想象能力和推理能力. 筆者現對同學們學習立體幾何時的三種癥狀進行分析，有針對性地提出解立體幾何題的突破方法.

癥狀一 ＞＞

概念記憶不清

表現在解題過程中想不起相關定義、定理，或是記錯概念，導致解題出錯.

癥結在學習過程中沒有重視對概念的記憶（如線線、線面、面面的位置關系，線線角、線面角、面面角的定義等），因此在解題時不能進行準確地應用.

突破之道在學習時應重視對這些基礎知識的系統化、結構化記憶，將重要定理進行歸納、類比，找出各個定理的關鍵字并加以概括，從而記熟這些重要的定理（如將線面平行的判定定理記為“線線平行，則線面平行”等）.

例1如圖1所示，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是四邊長為1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點，N為BC的中點. 求證：直線MN∥平面OCD.

證明：取OB中點E，連結ME，NE.因為ME∥AB，AB∥CD，所以ME∥CD. 又因為NE∥OC，所以平面MNE∥平面OCD，所以MN∥平面OCD.

[O][M][A][N][B][D][C]

圖1

例2如圖2所示，已知在空間四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，E，F分別為BC，AD上的點，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝，求AB與CD所成的角的大小.

[A][F][D][C][E][H][B]

圖2

解析：取BD上一點H，使得BH∶HD＝1∶2，連結FH、EH，由題意知FH／／AB，EH／／CD，則∠EHF為異面直線AB與CD所成的角（或補角）.

又AF∶FD＝BH∶HD＝BE∶EC＝1∶2，所以FH＝AB＝2，HE＝CD＝1，在△EFH中，由余弦定理知cos∠EHF＝＝＝－，所以∠EFH＝120°，故由異面直線所成角的范圍可得，異面直線AB與CD所成的角為60°.

癥狀二 ＞＞

空間與平面問題之間轉化困難

表現遇到某些立體幾何問題時，不能有效地將空間問題向平面問題轉化，從而造成解題思路閉塞.

癥結對空間圖形的分析不夠，沒有轉化意識，事實上立體幾何是平面幾何的推廣和延伸，很多空間問題最終都要轉化成平面問題加以解決.

突破之道認真分析圖形的結構特征，注意對常見問題的轉化方法的總結，如求兩異面直線所成的角時要先通過平移將它們轉化成同一平面內的相交直線；求二面角的大小即是求二面角的平面角的大小等.

例3三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖3所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝，AC＝2，A1C1＝1，＝．

（Ⅰ）證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求二面角A－CC1－B的大小.

[A][A1][C1][B1][B][D][C]

圖3

解析：（Ⅰ）因為A1A⊥平面ABC，BC#8834;平面ABC，所以A1A⊥BC． 在Rt△ABC中，AB＝，AC＝2，所以BC＝，因為BD∶DC＝1∶2，所以BD＝，又＝＝，所以△DBA∽△ABC，所以∠ADB＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC． 又因為A1A∩AD＝A，所以BC⊥平面A1AD，因為BC#8834;平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1．

（Ⅱ）如圖4，作AE⊥C1C交C1C于E點，連結BE.

[A][A1][C1][B1][B][D][C][F][E]

圖4

由已知得AB⊥平面ACC1A1，所以AE是BE在面ACC1A1內的射影． 由三垂線定理知BE⊥CC1，所以∠AEB為二面角A－CC1－B的平面角．

于是過C1作C1F⊥AC交AC于F點，則CF＝AC－AF＝1，C1F＝A1A＝，所以∠C1CF＝60°． 在Rt△AEC中，AE＝ACsin60°＝2×＝． 在Rt△BAE中，tan∠AEB＝＝＝． 所以∠AEB＝arctan，即二面角A－CC1－B為arctan．

癥狀三 ＞＞

缺乏空間想象能力

表現遇到問題時頭腦中沒有相關的幾何圖形，空間想象能力較弱.

癥結對空間立體圖形的認識存在一定的難度，特別是在圖形位置比較復雜、線條比較多時，不容易理清相關幾何元素的關系.

突破之道利用空間向量的方法可以很好地將幾何問題代數化，降低對空間想象能力的要求，因此同學們在解題時要學會建立適當的坐標系，用向量法來求解相關的角和距離的問題.

例4如圖5所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.

（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；

（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離.

[z][A][C][x][y][B][O][D][A1][C1][O1][B1]

圖5

解析：（Ⅰ）取BC中點O，連結AO．因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC． 因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．

取B1C1中點O1，以O為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），所以＝（1，2，－），＝（－2，1，0），＝（－1，2，）．

因為·＝－2＋2＋0＝0，·＝－1＋4－3＝0，所以⊥，⊥，所以AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）設平面A1AD的法向量為n＝（x，y，z）．

因為＝（－1，1，－），＝（0，2，0），且n⊥，n⊥，所以n

令z＝1得n=（-，0，1）為平面A1AD的一個法向量．

由（Ⅰ）知為平面A1BD的法向量，所以cos#1049512;n，#1049513;＝＝ －，所以二面角A－A1D－B的大小為arccos．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，為平面A1BD的法向量. 因為＝（－2，0，0），＝（1，2，－），所以點C到平面A1BD的距離d＝＝＝.