數學與詩詞意境

張奠宙 1933年出生于浙江奉化。1956年畢業于華東師范大學數學系數學分析研究生班。1999年當選為國際歐亞科學院院士?，F任教育部師范司高師教學改革指導委員會委員，《高中數學課程國家標準》研制組組長。

數學與詩詞歷來有許多潛在的談資。例如：

一去二三里，煙村四五家；

樓臺六七座，八九十枝花。

把十個數字嵌進詩里，讀來朗朗上口。鄭板橋也有詠雪詩：

一片二片三四片，

五片六片七八片；

千片萬片無數片，

飛入梅花總不見。

詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受。不過，以上兩詩中盡管嵌入了數字，卻實在和數學沒有什么關系。

數學與詩詞的內在聯系，在于意境。李白《送孟浩然之廣陵》詩云：

故人西辭黃鶴樓，

煙花三月下揚州。

孤帆遠影碧空盡，

唯見長江天際流。

數學名家徐利治先生在講授極限的時候，總要引用“孤帆遠影碧空盡”這一句，讓大家體會一個變量趨向于0的動態意境，煞是傳神。

近日與友人談幾何，不禁聯想到初唐詩人陳子昂《登幽州臺歌》中的名句：

前不見古人，后不見來者；

念天地之悠悠，獨愴然而涕下。

一般的語文解釋說，前兩句俯仰古今，寫出時間綿長；第三句登樓眺望，寫出空間遼闊。在廣闊無垠的背景中，第四句描繪了詩人孤單寂寞和悲哀苦悶的情緒，兩相映照，分外動人。然而，從數學上來看，這是一首闡發時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）：陳老先生以自己為原點，前不見古人指時間可以延伸到負無窮大；后不見來者則意味著未來的時間是正無窮大。后兩句描寫三維的現實空間：天是平面，地是平面，悠悠地擴張成三維的立體幾何空間。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，是數學家和文學家可以彼此相通的。進一步說，愛因斯坦的四維時空學說，也能和此詩的意境相銜接。

貴州的楊老師告訴我他的一則經驗。他在微積分教學中講到無界變量時，用了宋朝葉紹翁《游園不值》的詩句：

滿園春色關不住，一枝紅杏出墻來。

學生每每會意而笑。實際上，無界變量是說，無論你設置怎樣大的正數M，變量總要超出你的范圍，即有一個變量的絕對值會超過M。于是，M可以比喻成無論怎樣大的園子，變量相當于紅杏，結果是總有一枝紅杏越過園子的范圍。詩的比喻如此恰當，其意境把枯燥的數學語言形象化了。

數學研究和學習需要解題，而解題過程需要反復思索，最終會在某一時刻出現頓悟。例如，做一道幾何題，百思不得其解，突然添了一條輔助線，問題豁然開朗，欣喜萬分。這樣的意境讓我想起的是辛棄疾的詞所描述的意境：

眾里尋他千百度，

驀然回首，

那人卻在，燈火闌珊處。