數學教科書中“勾股定理”編寫存在的問題

朱　哲

勾股定理在幾何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基礎，也是整個平面幾何的重要基礎，其在現實生活中也具有普遍的應用性. 在數學教科書中，勾股定理一般出現在八年級，而八年級被認為是學生學習數學的一個重要發展階段，也即具體思維向形式化思維轉變的時期. 所以可以說，勾股定理教學也處于學生數學思維轉折階段. 但另一方面，勾股定理的教學卻始終是一個難點. 雖然勾股定理的證明方法據說超過400種，但是讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學生體驗知識發現過程的角度講，要想讓學生“再發現”勾股定理更是難上加難.^[1]所以有人說，看一個國家的數學教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.

基于這些理由，本文選取在國內被廣泛使用的人民教育出版社、華東師范大學出版社和北京師范大學出版社出版的三套《數學》教科書，從微觀層面來考察其中“勾股定理”部分的編寫. 在研究過程中，我們發現一些由于編寫者疏落或失誤造成的問題. 這些問題有可能對學生的學習及今后的發展產生一定的負面影響. 那么我們有必要指出這些錯誤，并希望編寫者在教科書修訂時做出修正和改進.

1 引言的設計

三種教科書在這一章的開始都有引言和題圖. 比如人教社版《數學》，放置了2002年國際數學家大會會場的照片，其中會徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話：

后來人們進一步發現并證明了直角三角形三邊之間的關系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發現這個關系嗎?

筆者認為這段話存在兩個問題. 第一，在引言部分就把結論明確地告訴學生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結論告訴學生后再問學生你能發現它嗎，同樣沒有任何意義. 就好象問一個已經吃好飯的人，你想吃飯嗎?

我們認為，引言可以提出一個具體的問題情境來導入本章的學習，也可以給出本章的學習目標讓學生明確這一章要學習什么. 但不可以把需要探究和猜想的結論展現在學生面前.

圖1

人教社版《數學》還有一處類似的錯誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫直角的方法來引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個小錯誤對學生的數學學習也許不會產生大的影響，但是作為國家權威教科書出版單位，犯如此低級的錯誤也是不應該的.

2 定理的發現

數學教學要培養學生數學計算、數學論證乃至數學推斷等能力，勾股定理的教學正是一個恰當的例子. 不過，在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在師生行為的設計上有兩個難解的困惑：①通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a²+b²=c²，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生；②勾股定理的證明有難度，一般來說學生很難自行探究，尋得解決的方法.^[2]教師通常是依據教科書來進行教學的，那么，我們來看一下教科書是如何設計的.

華師大版《數學》第48頁安排了“試一試”：

測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：

根據已經得到的數據，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系.

筆者認為，這個活動設計得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數. 讓學生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關系，就已經不是十分容易的事(比如，學生容易得到3+5=2×4而不易得到3²+4²=5²；也有學生由3²=4+5和5²=12+13猜想a²=b+c)，更何況來猜想三個非整數之間的平方關系. 教科書這樣設計和處理，容易導致學生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費了不少時間，而且沒有多大意義和價值.

3 勾股定理是“發現”而非“發明”的

華師大版《數學》第55頁安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話》. 其中有這樣一段話(下劃線為本文作者所加)：

人們對勾股定理的認識，經歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區的現存文獻中都有記載，很難區分這個定理是誰最先發明的. 國外一般認為這個定理是畢達哥拉斯(Pythagoras)學派首先發現的，因而稱為畢達哥拉斯定理.

這里有兩處錯誤. 第一，勾股定理是“發現”還是“發明”的?我們知道，發明是創造，一種從無到有的過程；而發現是一種本來就有，從不認識到認識的過程. 那么，數學定理的證明方法，可以是一種從無到有的發明過程，而定理本身本來就存在，而后被人發現的. 教科書中一段話里對定理的產生使用了發明和發現這兩個詞語，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因為畢達哥拉斯或其學派首先發現定理，而是因為在數學史上有明確記載，畢達哥拉斯或其學派首先證明該定理，才被稱為畢達哥拉斯定理的. 同樣的錯誤，我們可以在人教社版《數學》上看到，第74頁有個小標簽，上面寫著：

在西方，一般認為這個定理是畢達哥拉斯發現的，所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理.

相比較而言，北師大版《數學》則相對比較準確. 第8頁有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話：

相傳兩千多年前，希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.

4 問題情境應避免“人為”的創設

北師大版《數學》設置問題情境，用“旗桿問題”來引入新課題. 該問題是：

強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?

對于這一問題，如果考慮該題的現實性和科學性，橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應該也不難測量(唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米). 所以這個問題的設計并不合理. 相對而言，教科書中的“梯子問題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數學》第50頁在給出勾股定理后安排了例1：

如圖(圖略)，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)

這里，梯子的長度是容易測量的，BC的長度也是容易測量的，而垂直距離AB確實是難測量的. 因為難以測量，我們便求助于計算，求助于數學. 這樣就體現了數學是有用的.

我們再來看北師大版《數學》第9頁例1：

我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發現一輛敵方汽車在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎?

從情境的合理性和科學性角度考慮，這一題應該問題不大；但我們來看另外一題：

飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米. 飛機每時飛行多少千米?

這一題出現在修訂前的北師大版《數學》中，與前一題在本質上是一模一樣的. 如果考慮一下這個4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過什么途徑測到的，就不難明白，為什么教科書修訂時把這一題改成前一題了.

我們再來看一題，北師大版《數學》第3節《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習”：

甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險. 某日早晨8：00甲先出發，他以6千米/時的速度向正東行走. 1時后乙出發，他以5千米/時的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠?”

我們在一本美國的幾何教材《發現幾何》第9.3節的練習B中看到了這道題目的原型^[3]：

在火星正午時間，朗達·本德博士離開美國火星研究站，以60千米/時向東行進. 1小時后I.M.布賴特教授離開同一研究站，以50千米/時向北行進，去觀察極地冰帽. 火星時間下午3時，博士與教授相距多遠?答案精確到千米.

從這兩個問題的表述上看，《發現幾何》比北師大版《數學》更具想象和充滿冒險. 北師大版《數學》只把學生帶進沙漠，而《發現幾何》卻把學生帶到了火星. 北師大版《數學》是讓學生解決數學問題，或者說是“做數學”；而《發現幾何》不僅是“做數學”，更是“玩數學”，讓學生在一種輕松愉快的情境中解決數學問題，而這個過程是充滿樂趣的.

筆者這里舉了幾個例子，是想說明教科書編寫者在設計習題時采用不同的觀念，有的是為數學而問題，有的是為學生而問題，或者為生活而問題. 不同的觀念導致習題是“人為”還是“為人(學生)”的區別. 比如，“人為”的問題，為數學而問題，問題都是圍繞數學而編寫、杜撰的(前文那個“旗桿問題”就是為數學而數學). 從數學角度講，它也許是嚴謹的，完美的，但它也許遠離了學生的現實生活，也遠離了學生的想象世界. 事實上，教科書在編寫時，應該從學生出發，考慮問題情境的科學性和合理性，避免出現“人為”的題目.

5 趙爽的證明方法

趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數學史研究中是有爭議的. 錢寶琮先生認為他采用代數方法，利用面積計算；而吳文俊、李文林先生則認為他采用幾何方法，利用出入相補原理. 事實上，代數觀點比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時代的人們的數學思維習慣.

我們看到，對這樣未形成定論的內容，教科書在處理時卻顯得有些草率.

人教社版《數學》在73頁，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補原理來證明的.

華師大版《數學》在52頁安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計算面積驗證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒有明確給出趙爽的證明方法，但聯系上下文，容易讓學生認為趙爽是使用代數方法證明勾股定理.

北師大版《數學》第8頁和第9頁介紹了證明方法，將大正方形分割成四個直角三角形和一個正方形，然后通過計算面積驗證勾股定理. 雖然沒有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認為他是采用代數方法. 其后12頁介紹了劉徽用出入相補原理證明勾股定理，但沒有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.

我們認為，對于未有定論的內容，教科書就不應該草率地把某種觀點強加給學生，不可以對學生說，趙爽就是用這種代數方法證明勾股定理的，或者說趙爽就是用這種出入相補原理證明的. 數學教科書在涉及數學史時要特別注意一個問題，即在向學生展示史實，展示重要事件、重要人物與重要成果時，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現歷史的本來面目，不能歪曲歷史而誤導學生，對有爭議的以及沒有最終定論的題材應給學生必要的說明. ^[4]所以，比較合理的做法是，教科書先重點介紹其中一種證法，隨后簡單介紹另一種，同時聲明本書傾向于前一種觀點；而學生可以接受前一種，也可以是后一種觀點. 不過，不管是哪一種，學生都應該經過自己的思考，要有接受這一觀點的理由.

參考文獻

[1] 鮑建生，王潔，顧泠沅.聚焦課堂——課堂教學視頻案例的研究與制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.

[2] 顧泠沅.教學改革的行動與詮釋[M].北京：人民教育出版社，2003.444.

[3] [美]邁克爾·塞拉.發現幾何：一種歸納的方法[M].李翼忠，劉仁蘇，蔡上鶴，等.北京：人民教育出版社，2000.352.

[4] 朱哲，張維忠.從趙爽弦圖證明談數學史教學應尊重歷史[J].中學數學月刊，2005，(10)：12-14.