代數(shù)教學(xué)中不要以“形”代“數(shù)”

翟立安

上海二期課改數(shù)學(xué)新教材(試驗(yàn)本)在初中代數(shù)的編排上有一個顯著特點(diǎn)，就是讓代數(shù)教學(xué)從過去的“無形”走向現(xiàn)在的“有形”，這樣的編排是為了降低代數(shù)教學(xué)的抽象性，通過以“形”助“數(shù)”讓學(xué)生更加直觀地理解代數(shù)運(yùn)算法則的合理性，搭起“腳手架”，增加“有意義”學(xué)習(xí)的成分.

遺憾的是，在教學(xué)現(xiàn)實(shí)中個別老師曲解了這樣編排的意圖，而是以“形”代“數(shù)”了.

請看下面的教學(xué)片段(上海教育出版社七年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)(試驗(yàn)本)“多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法”第1課時(shí)).

[教學(xué)片段]

預(yù)備鈴后，Z老師在黑板上畫出右圖.

師問：整式包括哪兩部分?

學(xué)生1：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式.

老師接著問：如圖矩形的面積是什么?

學(xué)生2：S=(a+b)·(c+d).

師說：這里邊長是多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，我們還不會算，今天就學(xué)習(xí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘. 以前我們學(xué)習(xí)過單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，用學(xué)過的知識來解決新問題. 我們將矩形分割，分割后有沒有其它方法求它的面積呢?

生3：求四個小長方形的面積，所以S=ac+bc+ad+bd.

師問：這兩個是不是相等的?

學(xué)生齊答：是.

師問：還有那些方法?

生4：用上下或左右兩塊面積計(jì)算，S=a(c+d)+b(c+d)

師問：：這是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果就是ac+ad+bc+bd. 那么S=(a+b)·(c+d)等于什么?

生5：先把(a+b)看成一個整體.

老師打斷：沒關(guān)系，你就直接說結(jié)果吧!

生6：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd.

師：好，我們得到了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則.

聽到這里，我的腦海里升起一朵又一朵疑問的浪花.

1.研究多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，怎么一開始就想到畫分割好的矩形?

2.用幾種不同的方法計(jì)算一個具體的矩形面積，通過面積相等就得到了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，這樣一來多項(xiàng)式中的字母豈不只限于正數(shù)(邊長)了?

3.一個具體的幾何(面積)計(jì)算能代替一般的嚴(yán)格意義的邏輯推導(dǎo)(證明)?

4.學(xué)生說“先把(a+b)看成一個整體”，說得多好，老師為什么打斷他?

可見，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不但生硬，而且漏洞百出!

數(shù)學(xué)有自己的文化本質(zhì)，代數(shù)有自己的邏輯體系，它不能靠“形象”替自己說話，只能借助“形象”來思考、闡述和解釋.

那么，代數(shù)教學(xué)中怎樣用好“形象”來促進(jìn)“抽象”而不是代替“抽象”呢?

就這個問題，我?guī)蚙老師重新進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì).

[教學(xué)片段]

首先，給出5條單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的小練習(xí).

師：比一比，看誰做得又快又好. (學(xué)生的注意力一下子集中起來)

幾分鐘的時(shí)間進(jìn)行交流，交流的過程中復(fù)習(xí)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的重點(diǎn)和注意事項(xiàng).

師問：m(a+b)=?

生齊答：m(a+b)=ma+mb，(1)

師問：如果把m換成式子(c+d)又怎么計(jì)算?

生1：(c+d)·(a+b)=(ac+cb)+(cb+db). (顯然這里有誤)

師：你是怎么得來的?

生：代進(jìn)去的.

師：你代到(1)式再試試!

生1：m(a+b)=ma+mb=(c+d)a+(c+d)b=ac+ad+bc+bd

(學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤)

師：這里的m是多項(xiàng)式(c+d)，我們得到了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果.

接著，老師說：我遇到一個困惑，有一個邊長分別為a米、b米的長方形，長和寬分別增加m米、n米，問現(xiàn)在的長方形的面積是多少?請把變化后的圖畫出來.

學(xué)生有不同的畫法，也得出面積的不同表示式.

有直接計(jì)算的：S=(a+m)·(b+n)；

有分為三塊的：S=(b+n)·m+an+ab；

有分為四塊的：S=mn+an+bm+ab.

師：看一下，用不同方式表示的同一個矩形的面積，它們應(yīng)該是相等的!

(a+m)·(b+n)=mn+an+bm+ab，所以我們又得到了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果. 它們的形式是完全一樣的!

師：看來，無論是從整體思想進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo)，還是從幾何角度進(jìn)行驗(yàn)證，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果都是一樣的. 請用文字來表達(dá)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則.

生沉默.

老師給一點(diǎn)提示：類似于以前單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的.

學(xué)生紛紛嘗試.

一學(xué)生表達(dá)，老師幫助完善，得到多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則.

師：這里的字母a、b、m、n可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式.

學(xué)生齊讀一遍教材上多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則后，進(jìn)入練習(xí)階段.

從上面教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)以及教學(xué)的實(shí)際效果，我們可以看到：代數(shù)教學(xué)中不是用粗糙的“形象”代替嚴(yán)格的代數(shù)推導(dǎo)，而是借用“形象”啟迪學(xué)生思維或進(jìn)行驗(yàn)證闡述等，以讓學(xué)生更容易認(rèn)同和理解.

可見，代數(shù)教學(xué)中一定要處理好“形象思考”與“抽象思維”的辯證關(guān)系!