解讀平方根與立方根

畢保洪

對于平方根和立方根，本文從課本、中考題型和數學思想的角度進行解讀.

一、注重“一二三四五”，平方根的學習沒問題

1. 明白一種運算

求一個數的平方根的運算叫開平方.開平方是繼加、減、乘、除和乘方后的第六種運算.開平方與平方是一對互逆的運算.

例1（1）求（-4）2；

（2） 求9的平方根.

分析：（1）顯然是求一個數的平方， （-4）2=16；

（2）是求9的平方根，所得結果為±3.

2. 了解兩種定義

（1） 文字語言敘述：如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫a的平方根（或二次方根）.

（2）數學語言敘述：如果x2=a （a≥0），那么x就叫a的平方根.正數a的平方根有兩個，記為± .其中 叫a的算術平方根，0的平方根和算術平方根都是0.

例2（-5）2的平方根是（）.

A. 5 B. -5 C. ±5 D.±

分析： 因為（-5）2=25，（±5）2=25 ，所以25的平方根是±5，故應選C.

3. 掌握三條性質

（1）正數有兩個平方根，它們互為相反數，如例1中的（2）.

（2）0的平方根和算術平方根是它本身.如0的平方根是0，即

± ；其算術平方根也是0，即 =0.

（3）負數沒有平方根，更沒有算術平方根（也就是說在目前找不到一個數的平方是負數）.

例3已知一個正數x的平方根是a+1，a-3，則x=.

分析：由正數的平方根互為相反數得，（a+1）+（a-3）=0，a=1，即x的平方根是 ±2.所以x=4.

4. 切記四點注意

（1）± 表示a的平方根， 表示a的算術平方根，它們都是在a≥0的條件下才有意義.

（2） 根號左上角的數叫根指數，當根指數是2時，通常省略不寫.如“二次根號5”通常寫成 ，而不寫成“ ”.立方根的根指數是3，是絕對不能不寫的，如 若不寫根指數3，就變成了 ，其意義就發生了改變.

（3）當 a≥0時， 是非負數；當a＜0時， 沒有意義.如 是無意義的.

（4）“當a≥0時， 是a的平方根”是正確的； “當a≥0時， a的平方根是 ”卻是不正確的.

例4求式子 + +4的值.

分析：∵ 與 有意義，

∴a-2≥0，2-a≥ 0.

∴a≥2，a≤2.

∴a=2.

∴原式的值為0+0+4=4.

5. 明確五點不同

平方根與算術平方根是有區別的，主要有五點“不同”.

（1）定義不同.

平方根的定義是“如果一個數的平方等于a，那么這個數就是a的平方根”，0的平方根是0.而算術平方根的定義是“如果一個非負數的平方等于a，那么這個非負數就是a的平方根”，很顯然， 0的算術平方根是0.

（2）表示方法不同.

正數a的平方根可表示為± ；正數a的算術平方根則表示為 .

（3） 讀法不同.

正數 a的平方根± 讀作“正、負根號a”； 正數a的算術平方根 讀作“根號a”.

（4）個數不同.

正數的平方根有兩個，它們是一對相反數，0的平方根有一個，即0；正數的算術平方根只有一個，0的算術平方根也只有一個，即0.

（5）包含關系不同.

一個非負數的平方根包含它的算術平方根.但是， 一個非負數的算術平方根卻只是這個數的平方根的一部分.

二、學習立方根應對比平方根

在學習立方根時，可以與平方根對比著理解和學習.

1. 定義相似，結論不同

立方根定義是：如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫a的立方根.即如果x3=a， 那么x叫a的立方根（或者三次方根），記作（這與平方根的定義相似）.因為33=27、03=0、（-3）3=-27，所以3、0、-3分別是27、0、-27的立方根.正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根仍是0.（這與平方根的結論是不一樣的）

例5立方根等于3的數是（ ）.

A. 9 B.±9 C. 27 D.±27

分析：因為一個數的立方根只有一個，所以B、D不正確.又因為33=27，所以3是27的立方根.故應選C.

例6如果A= 為a+3b的算術平方根，B= 為1-a2的立方根，求A+B的平方根.

分析： 由A是a+3b的算術平方根可知根指數a-2b+3=2，B是1-a 2的立方根可知根指數2a-b-1=3.

解方程組a-2b+3=2，2a-b-1=3，

得a=3，b=2.

A= =3，B= =-2，A+B=1.

所以 ± =± =±1.

2． 求平方根、立方根的方法

簡單數的平方根、立方根易于看出或筆算求出，對于筆算不易求出的數的平方根、立方根可以用計算器來求.

三、“兩根”中的主要數學思想

1. 轉化的數學思想

轉化思想主要應用在：求一個復雜的數的平方根時可轉化為求一個簡單的數的平方根，求一個負數的立方根時，可以轉化為求一個正數的立方根的相反數等.

例7（1）求 的平方根.

（2）求 的立方根.

分析：（1） 因為 = =9， 所以9的平方根為± =±3，即 的平方根為±3.

（2） 因為 =- =-2，-2的立方根是 =- ，所以 的立方根是- .

2. 分類的數學思想

分類思想主要體現在：研究平方根、算術平方根及立方根時，都是將數按其符號進行分類討論的.如一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有一個平方根，就是它本身；負數沒有平方根.任何一個數都有一個立方根，正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根是0等.

3. 方程的思想

可以用方程的觀點、知識去處理平方根、立方根的相關問題，這也是本章的一個亮點.如：要剪出一塊面積為25 cm2的正方形紙片，紙片的邊長應是多少？就是說x2=25，求x.再如例6實際上就是滲透了方程的思想方法.

4.歸納的數學思想

歸納思想的應用較多.如在探究 等于什么時，采用了a=2，-2，3，-3，然后就歸納出 =|a|=a（a≥0），-a（a < 0）的結論.再如對 × 與 ， ×與 ，用計算器算出× = ， × = 后，便可歸納出 ? = （a≥0，b≥0）.

例8觀察下列各式：

=2 ，

=3 ，

=4 ，

……

請你猜想其規律，并用含自然數n的代數式表示出來.

分析：觀察后發現等號左邊根號內整數移到等號右邊根號外增加1，等號左邊根號內分數移到等號右邊后仍在根號內，所以歸納出一般式為 =（n+1） .L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”