正方形的開方問題

馮金枝

我們以前學習過正方形面積公式，知道如何去求一個正方形的面積，但反過來，如果給出一個正方形的面積，我們就不知道該怎么去求它的邊長了.現在學習了平方根的知識后，我們就可以解決這個問題了.

例1小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3 ∶ 2.不知能否裁出來，正在發愁.小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

解： （假設能裁出符合要求的長方形紙片）設長方形紙片的長為3xcm ，寬為2xcm.根據邊長與面積的關系得

3x?2x=300，

6x2=300，

x2=50，

x= .

因此長方形紙片的長為3 cm.

因為50>49，所以 >7.

由上可知3 >21，即長方形紙片的長應大于21 cm.

已知正方形紙片的邊長只有20cm，這樣，要裁出的長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長，這是不可能的.

故不能裁出符合要求的長方形紙片.

答：不同意小明的說法.小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片.

評析：這道例題是平方根知識在實際問題中的應用，同學們一般會認為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片，解完了這道題后同學們該明白平方根知識的用處了吧！解題過程中給出了一種常見的用有理數估計無理數的方法，這種方法是利用與被開方數最接近的完全平方數的算術平方根來估計這個被開方數的算術平方根的大小，這種估算能力是同學們以后學習過程中必須具備的能力.

例2小明的房間面積為10.8m2，房間地面恰由120塊相同的正方形地磚鋪成，每塊地磚的邊長是多少？

解： 房間的面積為10.8m2，也就是120塊相同正方形地磚的面積之和為10.8m2，那么1塊正方形地磚的面積為：

10.8÷120=0.09（m2）.

故每塊正方形地磚的邊長為：

=0.3（m）.

答：每塊正方形地磚的邊長為0.3m.

例3（1） 用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長方形紙片，你會怎樣剪？

（2） 根據你的剪法回答:只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎？

解： （1）設正方形紙片的邊長為a cm，則

a2 = 400，

a = ±

=± 20.

由于負值不合題意，應舍去，故正方形紙片的邊長為20 cm.

要剪出面積為300 cm2的長方形紙片，可以以正方形紙片的邊長20 cm為長，剪去一定寬度的長方形紙片而得.

設剪去的長方形紙片的寬為 xcm，則

20?（20-x）=300，

400-20x=300，

20x=100，

x=5.

所以只要剪掉長為20 cm，寬為5cm的長方形紙片，剩下的就是長為20 cm，寬為15 cm的長方形紙片，它的面積為300 cm2，這樣就可得到符合要求的長方形紙片了.

（2）由前面例1和本題（1）可知：在有要求的前提下，利用面積大的紙片不一定能剪出面積小的紙片.L