平方根與立方根典型習題解讀

姚紹相

《數的開方》的第1節學習了初中階段六種運算中的最后一種數的運算——開平方、開立方（統稱開方），其結果分別稱為平方根與立方根（統稱方根）.現以本節的典型習題為例，分類解讀如下，供同學們學習時參考.

一、平方根與立方根

例1（1）求下列各數的平方根：289，6.25，2 ，，.

（2）求下列各數的立方根：-2 ，0.125， .

（3）求下列各式的值：①× ，②÷ .

（4）用計算器求下列各式的值（保留四個有效數字）： - ，- .

解析：（1）將一個正數開平方，關鍵是找出它的一個算術平方根.因為172=289，所以 =17（即289的算術平方根是17），因此289的平方根是±17（或± =±17）.以下各數請同學們完成.答案：±17，±2.5，± ，±2（不是 4），±3（ ≠-9）.

（2）請同學們完成.答案：- ，0.5， （不是9，該處是求 =9的立方根）.

（3）請同學們完成.答案：① ，②- .

（4）請同學們完成.答案：-44.81，0.950 4.

點評：要重視例1這類課本中的基本訓練題.

①要搞清平方根、算術平方根與立方根的意義及性質的異同，防止混淆.例如，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，而正數的立方根是一個正數；負數沒有平方根，但有立方根，負數的立方根是一個負數；0的平方根與立方根都是0.在實數范圍內，任何數都能進行開立方運算，只有非負數才能進行開平方運算.

②要明確開平方與平方、開立方與立方互為逆運算，學會利用平方與立方運算求平方根與立方根，也要學會利用平方與立方運算檢驗開平方與開立方是否正確.

③求 、 這類數的平方根或算術平方根時，一定要先將它們化簡，再求解.

④當根號下的被開方數是兩個或兩個以上數的和或差時，如第（3）題中的第②題，應先求其和或差，再進行開方運算.

二、三種非負數

例2若 和 互為相反數，則 2- 27 =.

解析：根據相反數的意義，得 + =0.再由非負數的性質，得1-3a=0，8b-3=0.解得a= ，b = .

∴ 2=2 = 82 = 64.

∴ 2- 27 = 64 - 27 = 37.

點評：正數和0統稱為非負數，初中數學中常見的非負數有以下三種：實數的絕對值、實數的偶次冪（實數的平方是其中最簡單的情況）與非負實數的算術平方根.以上是利用“若幾個非負數之和為0，則每個非負數必為0”這一非負數的性質列方程組求解，例2這種類型的題是各地中考命題的一個熱點.要特別注意非負數a的算術平方根 的兩個非負性，即a≥0， ≥0.

三、數（實數）的估算與大小比較

例3（1）估計 +1的值是（）.

A. 在2和3之間 B. 在3和4之間

C. 在4和5之間 D. 在5和6之間

（2）估計 的大小應（）.

A．在9.1和9.2之間 B. 在9.2和9.3之間

C． 在9.3和9.4之間 D. 在9.4和9.5之間

解析：（1）本題是由課本第7頁習題12.1的第4題（ 在哪兩個整數之間？）改編而成.

∵ ＜ ＜ ，即3＜ ＜4，

∴ 4＜ +1＜5.故應選C.

（2）9.32=86.49，9.42=88.36，又86.49＜88＜88.36，9.3＜ ＜ 9.4.故應選C.

點評：這類估算題既是課本中的重要題型，也是考查《數的開方》內容中考題的熱點.它對培養同學們的估算能力有幫助.但對允許將計算器帶入考場的地方，這類題就屬于簡單的基礎知識題了.

例4（1）比較2.5，-3， 的大小，正確的是（）.

A．-3＜2.5＜ B． 2.5＜-3＜

Ｃ．-3＜ ＜2.5Ｄ． ＜2.5＜-3

（2）已知A=n- ，B=3 -2 （n為正整數）．當n≤5時，有A＜B；請用計算器計算當n≥6時，A、B的若干個值，并由此歸納出當n≥6時，A、B間的大小關系為.

解析：（1）∵負數小于正數，2.52=6.25＜7，

∴-3＜2.5＜ .

故應選A.

（2）A＞B.

點評：有理數的大小比較方法，在實數范圍內仍然適用.實數比較大小時，通常取它們的近似值來進行.課本主要介紹了直接法、估算法與計算器計算法等.其他方法（如平方法、求差法、求商法、倒數法等），希望同學們在今后的學習過程中認真加以總結，注意靈活應用.

四、平方根與立方根應用題

例5（第7頁習題12.1第5題）在做浮力實驗時，小華用一根細線將一正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，并用一量筒量得被鐵塊排開的水的體積為40.5 cm3，小華又將鐵塊從燒杯中提起，量得燒杯中的水位下降了0.62 cm．請問燒杯內部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少.（用計算器計算，結果精確到0.1 cm）

解析：這是一道數學與物理的綜合題.由物理知識，知鐵塊的體積就是燒杯中減少的水的體積，

鐵塊的棱長為 ≈3.4（cm）.

燒杯中減少的水的體積為40.5 cm3，水位下降了0.62 cm，

燒杯內部的底面面積為cm2，故燒杯內部的底面半徑為 ≈4.6（cm）.

點評：通過本章的學習，同學們可體驗到數學源于實際，又應用于實際.解實際問題，首先要讀懂題意，善于將它轉化為數學問題.

1. 如果一個實數的平方根、算術平方根、立方根是它本身，那么這個實數分別是什么？

2. 已知一個正數的平方根是3a-1與-a+3，求29a+2的立方根.

3. 已知 +（2y-x-14）2=0，求 的值.

4. 比較大小：（1）- +3- +3；

（2） 0.5.

5.一個正方體的體積為18.49 cm3，求這個正方體的棱長與表面積.（精確到0.01） L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”