解讀實數與數軸

朱元生

由于實際問題的需要引入了“無理數”，從而使數的范圍從“有理數”擴充到“實數”，“實數”是初中數學重要的基礎知識.

一、無理數的概念及表現類型

1. 無限不循環小數叫做無理數.

注意：無理數應滿足的條件：①是小數；②是無限小數；③是不循環小數.

2. 無理數的表現類型：

第一類：π型，如3π，2π?搖-?搖1，….第二類：根號型，如 ， ，….第三類：小數型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88….

二、有理數與無理數的主要區別

1. 有理數包括有限小數和無限循環小數，而無理數則是無限不循環小數.

2. 所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數的形式.

三、實數概念及其分類

1. 有理數和無理數統稱實數.

2. 實數的分類：

①按定義來分類：

實數有理數整數分數?搖有限小數或無限循環小數無理數 無限不循環小數

②按正、負數來分類：

實數正實數正有理數正無理數?搖0負實數負有理數負無理數?搖

注意：0既不是正數，也不是負數，它是一個中性數.

分類是一種重要的數學思想，分類時要做到按同一標準，既不重復，又不遺漏.

四、實數與數軸上的點的對應關系

實數與數軸上的點一一對應，即任何一個實數都可以用數軸上唯一的點表示，反過來數軸上的每個點也都表示唯一的一個實數.

注意：任何兩個實數之間都有無數多個有理數和無數多個無理數.

五、實數的有關性質

1. 相反數：實數a的相反數是?搖-?搖a，0的相反數是0.故若a與b互為相反數，則a?搖+?搖b?搖=?搖0；反之，若a + b?搖=?搖0，則a與b互為相反數.在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩側，并且這兩點到原點的距離相等.

2. 絕對值：一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.

實數a的絕對值可表示為|a|?搖=?搖a（a?搖≥?搖0），- a（a?搖

在數軸上實數a的絕對值就是實數a所對應的點與原點的距離.

3. 倒數：乘積為1的兩個實數互為倒數.若ab?搖=?搖1，則a，b互為倒數；反之，若a，b互為倒數，則ab?搖=?搖1.

注意：0沒有倒數.

4. 實數大小比較.

任意兩個實數都可以比較大小.正數都大于0；負數都小于0；正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小.

利用數軸也可以比較兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的點所表示的數總比左邊的點所表示的數大.

5. 實數的運算.

實數的運算法則、運算律和運算順序都與有理數相同.注意：開方運算和乘方運算一樣，都是第三級運算.即先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加減；同級運算按照從左到右的順序進行；有括號先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

在實數運算中，遇到無理數并且需要求出結果的近似數時，可以按照所要求的精確度用相應的近似有限小數去代替無理數進行計算，并按要求進行取舍.

六、科學記數法

無論一個正數N多么大或怎樣小，都能表示成a?搖×?搖10n的形式，其中1?搖≤?搖a?搖＜?搖10，n是整數，這種

記數法稱為科學記數法.

用科學記數法總能把一個正數寫成只有一位整數位的數與10的整數指數冪的乘積的形式.當N?搖≥?搖1時，n等于N的整數位數減1；當0?搖＜?搖N?搖＜1時，n是一個負數，其絕對值等于N的第一個有效數字前面的0的個數（包括整數部分的一個0）.

七、數學思想

“實數”這一部分所體現的數學思想有：類比思想、轉化思想、建模思想、分類討論思想和數形結合思想.L

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