解讀實數(shù)與數(shù)軸

朱元生

由于實際問題的需要引入了“無理數(shù)”，從而使數(shù)的范圍從“有理數(shù)”擴充到“實數(shù)”，“實數(shù)”是初中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識.

一、無理數(shù)的概念及表現(xiàn)類型

1. 無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

注意：無理數(shù)應(yīng)滿足的條件：①是小數(shù)；②是無限小數(shù)；③是不循環(huán)小數(shù).

2. 無理數(shù)的表現(xiàn)類型：

第一類：π型，如3π，2π?搖-?搖1，….第二類：根號型，如 ， ，….第三類：小數(shù)型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88….

二、有理數(shù)與無理數(shù)的主要區(qū)別

1. 有理數(shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù).

2. 所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)的形式.

三、實數(shù)概念及其分類

1. 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

2. 實數(shù)的分類：

①按定義來分類：

實數(shù)有理數(shù)整數(shù)分數(shù)?搖有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)

②按正、負數(shù)來分類：

實數(shù)正實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)?搖0負實數(shù)負有理數(shù)負無理數(shù)?搖

注意：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是一個中性數(shù).

分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，分類時要做到按同一標準，既不重復(fù)，又不遺漏.

四、實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系

實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，即任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點表示，反過來數(shù)軸上的每個點也都表示唯一的一個實數(shù).

注意：任何兩個實數(shù)之間都有無數(shù)多個有理數(shù)和無數(shù)多個無理數(shù).

五、實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

1. 相反數(shù)：實數(shù)a的相反數(shù)是?搖-?搖a，0的相反數(shù)是0.故若a與b互為相反數(shù)，則a?搖+?搖b?搖=?搖0；反之，若a + b?搖=?搖0，則a與b互為相反數(shù).在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩側(cè)，并且這兩點到原點的距離相等.

2. 絕對值：一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

實數(shù)a的絕對值可表示為|a|?搖=?搖a（a?搖≥?搖0），- a（a?搖

在數(shù)軸上實數(shù)a的絕對值就是實數(shù)a所對應(yīng)的點與原點的距離.

3. 倒數(shù)：乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù).若ab?搖=?搖1，則a，b互為倒數(shù)；反之，若a，b互為倒數(shù)，則ab?搖=?搖1.

注意：0沒有倒數(shù).

4. 實數(shù)大小比較.

任意兩個實數(shù)都可以比較大小.正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

利用數(shù)軸也可以比較兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.

5. 實數(shù)的運算.

實數(shù)的運算法則、運算律和運算順序都與有理數(shù)相同.注意：開方運算和乘方運算一樣，都是第三級運算.即先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加減；同級運算按照從左到右的順序進行；有括號先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

在實數(shù)運算中，遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似數(shù)時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)進行計算，并按要求進行取舍.

六、科學(xué)記數(shù)法

無論一個正數(shù)N多么大或怎樣小，都能表示成a?搖×?搖10n的形式，其中1?搖≤?搖a?搖＜?搖10，n是整數(shù)，這種

記數(shù)法稱為科學(xué)記數(shù)法.

用科學(xué)記數(shù)法總能把一個正數(shù)寫成只有一位整數(shù)位的數(shù)與10的整數(shù)指數(shù)冪的乘積的形式.當N?搖≥?搖1時，n等于N的整數(shù)位數(shù)減1；當0?搖＜?搖N?搖＜1時，n是一個負數(shù)，其絕對值等于N的第一個有效數(shù)字前面的0的個數(shù)（包括整數(shù)部分的一個0）.

七、數(shù)學(xué)思想

“實數(shù)”這一部分所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有：類比思想、轉(zhuǎn)化思想、建模思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”