實(shí)數(shù)與數(shù)軸典型習(xí)題解讀

黃繼蒼

根據(jù)上節(jié)所學(xué)內(nèi)容，并由實(shí)際問題出發(fā)，本節(jié)引入了無理數(shù)，從而將數(shù)的概念從有理數(shù)擴(kuò)展到了實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是本章的又一重點(diǎn).現(xiàn)以本節(jié)及本章的典型習(xí)題為例，分類解讀如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

例1（1）如圖1，數(shù)軸上表示數(shù) 的點(diǎn)是.

（2）如圖2，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）.

Ａ． Ｂ． - 3.2 Ｃ． - Ｄ． -

（3）如圖3，數(shù)軸上表示1， 的對應(yīng)點(diǎn)為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）.

A. 2 - B.- 2

C. - 1 D. 1 -

解析：（1）點(diǎn)B.

（2）C.

（3）依題意，得CA = AB =- 1，

∴OC = OA - CA = 1 - （ - 1） = 2 - .故應(yīng)選A.

點(diǎn)評：利用估算或借助計(jì)算器可迅速獲得（1）“由數(shù)尋點(diǎn)”，（2）“由點(diǎn)找數(shù)”的結(jié)果；第（3）題要注意數(shù)形結(jié)合，利用中心對稱圖形的性質(zhì).從本題可體會(huì)到數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對應(yīng)的，從而加深對“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的”這一性質(zhì)的認(rèn)識(shí).

二、實(shí)數(shù)的分類

例2把下列實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行分類.

-， ，0.3， ±， ， -， 3.14， ， ，0.212 112 111 211 112…，5.181 881 888，0.

有理數(shù)：；

無理數(shù)：.

解析：實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，根據(jù)有理數(shù)（整數(shù)與分?jǐn)?shù)）與無理數(shù)的意義進(jìn)行分類.

有理數(shù)：0.3， ±， -， 3.14， ，5.181 881 888，0；

無理數(shù)： -， ， ， ，0.212 112 111 211 112….

點(diǎn)評：判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，要根據(jù)其結(jié)果，而不是看它的形式.例如帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)， ± =±就是有理數(shù)中的分?jǐn)?shù)；寫成分?jǐn)?shù)形式的 ， 不是有理數(shù)中的分?jǐn)?shù)，而是無理數(shù).對無理數(shù)要抓住“無限”與“不循環(huán)”這兩個(gè)特征，缺一不可.課本中學(xué)習(xí)的無理數(shù)主要是：①被開方數(shù)是開方開不盡的數(shù)，如 ， 等；②特定意義的數(shù)，如圓周率π；③還有一類是特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.212 112 111 211 112….注意5.181 881 888是一個(gè)有限小數(shù)，屬于有理數(shù)中的分?jǐn)?shù).

三、實(shí)數(shù)的計(jì)算

例3求值：+ - |π - |.（精確到0.01）

解析：可直接一次用計(jì)算器計(jì)算，最后按題目要求寫出結(jié)果.原式≈2.17.

點(diǎn)評：有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根時(shí)，應(yīng)先按第二功能鍵，再按書寫順序按鍵.

四、本章亮點(diǎn)題

所謂“亮點(diǎn)題”，就是試題回歸課本，突出基礎(chǔ)，但題目的形式與提出問題的方式較為新穎或有所創(chuàng)新，體現(xiàn)一定的開放性與靈活性，體現(xiàn)對同學(xué)們能力的考查，體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念.現(xiàn)以《數(shù)的開方》一章中的試題為例介紹如下.

1． 開放題

例4寫出一個(gè)有理數(shù)和無理數(shù)，使它們都是大于 - 2的負(fù)數(shù)：.

解析：答案不唯一，如 - 1和 -等.

點(diǎn)評：這類試題對培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力，概念辨析能力都十分有益.

2． 類比聯(lián)想題

例5聯(lián)想學(xué)過的平方根與立方根的意義，試求 ± = ，=.

解析：聯(lián)想學(xué)過的平方根與立方根的意義，不難想到 ±應(yīng)該表示625的四次方根，因?yàn)椋?± 5）= 625，所以 ± =± 5；應(yīng)該表示 - 32的五次方根，因?yàn)椋?- 2） = - 32，所以= - 2.

點(diǎn)評：開方的結(jié)果叫方根，《數(shù)的開方》一章中我們只學(xué)習(xí)了最簡單的開平方與開立方，同學(xué)們?nèi)缒芡ㄟ^學(xué)習(xí)、類比平方根與立方根，了解四次方根、五次方根，乃至n次方根的意義、性質(zhì)及求法，才是新課程標(biāo)準(zhǔn)所希望的.

3． 新定義題

例6定義運(yùn)算“@”的運(yùn)算法則為:x @ y =，則（2 @ 6）@ 8 =.

解析：根據(jù)所給的運(yùn)算法則，原式 = @ 8 = 4 @ 8 = =6.

點(diǎn)評：解這類題的關(guān)鍵，是讀懂題意，利用轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想，把題目中新定義的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的常規(guī)運(yùn)算問題.

4． 探求規(guī)律題

例7圖4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號(hào)依次為①、②、③、④、⑤、…，則第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為.

解析：由圖知，前4個(gè)等腰直角三角形的斜邊長依次為 、=、=、=，因此，不難猜想第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為 .

例8用計(jì)算器計(jì)算， ，，…，請你猜測的結(jié)果為.

解析： 用計(jì)算器計(jì)算所給的三個(gè)算式，得= 10， = 100，= 1 000.

所以 =.

點(diǎn)評：探求規(guī)律的試題，是近年命題的一個(gè)熱點(diǎn).通過觀察所給的算式，由特殊到一般進(jìn)行分析、猜想、歸納，這是一種合情推理，有時(shí)還需要進(jìn)行邏輯推理等探索過程.

5． 閱讀理解題

觀察以上計(jì)算結(jié)果，完成下列問題：

（1）（a為實(shí)數(shù)）一定等于a嗎？你發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律了嗎？試用合適的語言描述出來.

（2）利用你總結(jié)的規(guī)律，化簡 +（其中2 ＜ x ＜3）.

（3）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖5，化簡+ + |a + b|.

解析： 6，6，0，， .

（1） （a為實(shí)數(shù)）不一定等于a，其規(guī)律可用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為 = |a|.

（2）因?yàn)? ＜ x ＜ 3，所以x - 2 ＞ 0，x - 3 ＜ 0.故原式 = |x - 2| + |x - 3| =x - 2+3 - x = 1.

（3）觀察數(shù)軸可知，a ＜ 0，b ＞ 0，a + b ＜ 0，故原式 = - a+b+（ - a - b） =

- 2a.

點(diǎn)評：本題以幾道計(jì)算題為切入點(diǎn)，讓同學(xué)們通過計(jì)算、觀察，歸納出一般結(jié)論，再用所得的結(jié)論解決問題.考查了大家的閱讀能力、歸納能力及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，滲透了由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律.

1. 課本中為說明數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，利用“邊長為1的正方形的對角線為 ”，在數(shù)軸上找到了無理數(shù)所表示的點(diǎn)，如圖6.那么這種利用圖形直觀說明問題的方式，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫（）.

Ａ． 代入法 Ｂ． 換元法

Ｃ． 數(shù)形結(jié)合 Ｄ． 分類討論

2. 在 -， ，π， - 1.010 010 001， 中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.

A． 1B． 2C． 3D． 4

3.求下列各式的絕對值與相反數(shù).

（1）1.73 -.（2）3.142 - π.

4. 用開平方或開立方的方法求下列各式中的x.

（1）（x+ 2）2 = 100.（2）（2 - x）3 + = 0.

5. 求值：+ - π.（保留兩位小數(shù)）L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”