數(shù)的開方全攻略

葛余常

《數(shù)的開方》一章主要包括兩塊內(nèi)容：平方根與立方根；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．這些知識都是研究數(shù)的基礎(chǔ)．為了幫助同學(xué)們扎實(shí)地掌握這些內(nèi)容，現(xiàn)對這部分的重點(diǎn)知識進(jìn)行掃描．

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)引

1. 了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.

2. 了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會用計(jì)算器求平方根和立方根.

3. 了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的關(guān)系.

4. 能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.

5. 在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值.

6． 通過學(xué)習(xí)能經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、演算、歸納等數(shù)學(xué)活動過程,進(jìn)一步培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力．體驗(yàn)數(shù)學(xué)源于生活,同時(shí)應(yīng)用于生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性．

二、精彩要點(diǎn)導(dǎo)播

本章概念較多，正是有了這些才奠定了本章的基礎(chǔ)，如果同學(xué)們通過復(fù)習(xí)能夠順利地完成下列填空題，相信你會是不一般的學(xué)生.

1. 叫平方根，叫算術(shù)平方根，叫立方根.

2. 平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別是，聯(lián)系是.

3. 用計(jì)算器求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的方法是，求立方根的方法是.

4. 平方與開平方的關(guān)系是.

5. 平方根、算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)分別是.

6. 叫無理數(shù).無理數(shù)應(yīng)滿足三個(gè)條件：①；②；③.無理數(shù)的常見形式有.

7. 叫實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的分類可從兩個(gè)角度去思考：①按定義來分類：

；②按正、負(fù)數(shù)來分類：.

8. 數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系是.

9. 數(shù)的性質(zhì)有：.

10. 數(shù)的運(yùn)算順序是.

三、重點(diǎn)難點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

正確理解平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念和求法及實(shí)數(shù)化簡和運(yùn)算是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn).弄清平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，實(shí)數(shù)的概念和性質(zhì)是本章學(xué)習(xí)的難點(diǎn).把握開方運(yùn)算和乘方運(yùn)算的關(guān)系，無理數(shù)的概念和實(shí)數(shù)的分類是學(xué)習(xí)關(guān)鍵.

四、思想方法導(dǎo)游

數(shù)學(xué)思想方法是解決問題的工具，但要靈活運(yùn)用到解題中去并非易事，要不斷積累，逐步內(nèi)化成自己的經(jīng)驗(yàn)，這樣才能將思維提高到一個(gè)高度.《數(shù)的開方》中常見的數(shù)學(xué)思想方法主要有以下幾個(gè).

1. 方程思想.在討論平方根和立方根的定義的時(shí)候我們就體會了方程思想的運(yùn)用，在利用數(shù)的開方的知識解決具體問題時(shí)也會經(jīng)常涉及構(gòu)造方程求解.

2. 轉(zhuǎn)化思想.在數(shù)學(xué)研究中，常常將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題來處理.例如求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)正數(shù)的立方根的相反數(shù).另外，在實(shí)數(shù)的近似運(yùn)算中，可根據(jù)問題的需要取近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)來計(jì)算，所以本單元很多知識都滲透和運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想.

3. 分類思想.在本章中分類思想主要體現(xiàn)在對實(shí)數(shù)的分類上.一種是按定義分類，一種是按數(shù)的性質(zhì)分類，值得注意的是，實(shí)數(shù)的分類還有其他方法，而每種分類方法各有所長.又如在研究平方根、立方根的性質(zhì)時(shí)，把數(shù)按正數(shù)、負(fù)數(shù)、0分類.分類有不同方法，但必須按同一標(biāo)準(zhǔn)分類，做到不重不漏.

4. 數(shù)形結(jié)合思想.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小等都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

五、典型例題導(dǎo)析

1. 考查平方根與立方根概念.

例1（1）（2007年?濟(jì)南市）4的平方根是（）.

（2）（2007年?南京市） 的算術(shù)平方根是（）.

（3）（2007年?遵義市）8的立方根是.

（4）（2007年?安順市） 的平方根是.

（5）（2007年?資陽市）如果某數(shù)的一個(gè)平方根是 - 6，那么這個(gè)數(shù)為

.

解析：根據(jù)平方根、算術(shù)平方根與立方根概念直接求解.（1）C（2）B（3）2

（4）本題要注意認(rèn)真審題．= 4，4的平方根是 ± 2，所以 的平方根是 ± 2.

（5）根據(jù)開平方與平方互為逆運(yùn)算求解，這個(gè)數(shù)是（ - 6）2 =36.

評注：解決此類問題關(guān)鍵是抓住概念：正數(shù)a 的平方根有兩個(gè)，用符號可表示為 ±，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記為 .任何數(shù)有且只有一個(gè)立方根.

2. 考查無理數(shù)識別.

例2 （1）（2007年?常州市）在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）.

（2）（2007年?佛山市）下列說法正確的是（）.

A． 無限小數(shù)是無理數(shù)

B． 不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)

C． 無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)

D． 兩個(gè)無理數(shù)的和還是無理數(shù)

解析：正確理解無理數(shù)的意義是解本題的關(guān)鍵，無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).（1）B（2）C

評注：解這類題的關(guān)鍵是正確理解無理數(shù)的意義，在具體判斷時(shí)，不能只看形式，應(yīng)從它們的本質(zhì)來把握.

3. 考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì).

例3（2007年?濟(jì)寧市）已知+ |b - 1| = 0，那么（a + b）2 007的值為（）.

A. - 1 B. 1

C. 32 007 D. - 32 007

解析：一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與絕對值都是非負(fù)數(shù)，它們的和為0，則每個(gè)數(shù)必為0.由題意，可列出方程組a + 2 = 0，b - 1 = 0.則a =- 2，b = 1，（a + b）2 007 =（- 2 + 1）2 007 = - 1.故應(yīng)選A.

評注：本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，在中學(xué)階段，非負(fù)數(shù)主要有三個(gè)：實(shí)數(shù)的絕對值、實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的偶次方.它有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，即若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.利用這個(gè)性質(zhì)可解本題.

4. 考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

例4（1）（2007年?黃岡市）計(jì)算： - （ - 2） =；| -| =； - 1 =

.

（2）（2007年?濟(jì)南市）計(jì)算 的結(jié)果為（）.

解析：（1） - （ - 2） = 2；| -| =； - 1 =.

評注：實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對值、冪的法則都與有理數(shù)的相應(yīng)概念和法則相同，有理數(shù)的運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

5. 考查實(shí)數(shù)大小的比較.

例5（2007年?河北省）比較大小：7（填“＞”、“＝”或“＜”） ．

解析：> = 7，故7 <.

評注：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小和比較兩個(gè)有理數(shù)的大小一樣，方法較多，對于不同形式表示的實(shí)數(shù)，要靈活選用比較大小的方法，如取近似值法、比較平方法、放縮法等.

6. 考查估值.

例6（2007年?鹽城市）估計(jì)的值（）.

Ａ． 在3和4之間

Ｂ． 在4和5之間

Ｃ． 在5和6之間

Ｄ． 在6和7之間

解析：本題主要考查估算能力，體現(xiàn)了課標(biāo)要求中的“能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍”，由于52 < （ ）2 < 62，所以5< < 6，即在5和6之間.故應(yīng)選C.

評注：對無理數(shù)作近似估算是新課標(biāo)所要求的，同學(xué)們必須掌握“估算法”這種解題方法，以便對具體的實(shí)際問題能及時(shí)作出處理.

7. 考查數(shù)形結(jié)合.

例7（1）（2007年?大連市旅順口區(qū)）如圖1，在數(shù)軸上， 兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有個(gè).

（2）（2007年?江西省）在數(shù)軸上與表示 的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是．

解析：（1）A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是 -和 ，而 - 2＜ - < - 1，2 ＜ ＜ 3，所以 -和 之間的整數(shù)有 - 1，0，1，2四個(gè).

（2）由于 的值約為1.732，所以在數(shù)軸上與表示 的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是2.

評注：本題是一道和實(shí)數(shù)有關(guān)的數(shù)形結(jié)合型試題.每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示；反過來數(shù)軸上的每一點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.它所反映的是數(shù)學(xué)上重要的“數(shù)形結(jié)合”思想.

8. 考查規(guī)律探索.

例8（2007年?大連市）觀察下列各式：

= 12 + 3 × 1 + 1， = 22 + 3 × 2 + 1，= 32 + 3 × 3 + 1， ……

猜想：= .

解析：本題是一道和實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律探索題.觀察可知

= 2 0052 + 3 × 2 005 + 1.

評注：規(guī)律探索題的解題關(guān)鍵是從閱讀材料中得到正確的信息，再通過分析、歸納、探究等方法來解決問題.L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”