古代趣題賞析

左加亭

勾股定理是數學中的一個重要定理,在古代就出現了一些和勾股定理有關的實際問題.現舉幾例,供同學們欣賞.

一?算秋千索長

例1明代有一位杰出的數學家叫程大位,在他所著的《算法統宗》里有一道“蕩秋千”的題:

平地秋千未起,踏板一尺離地,

送行兩步與人齊,五尺人高曾記;

仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡嬉,

良工高士素好奇,算出索長有幾?

它的大概意思是:當秋千靜止時,它的踏板離地的距離為一尺(一種非法定長度單位),將秋千的踏板往前推兩步(這里的每一步合五尺),它的踏板與人一樣高,這個人的身高為五尺.當然這時秋千的繩索是呈直線狀態的.現在問:這個秋千的繩索有多長?

解:根據題意畫出示意圖(如圖1),設圖中的OA為秋千的繩索,CD為地平面,BC為身高5尺的人,AE為兩步(相當于10尺)的距離,A處為踏板的靜止位置.AD為踏板離地的距離,長度等于1尺.

設OA = x尺,則OB = OA = x尺.

FA = BE = BC - EC = 5 - 1 = 4(尺).

BF = EA = 10尺,在Rt△OBF中,利用勾股定理,可得

OB2 = OF2 + BF2,即x2 = (x - 4)2 + 102.解得x = 14.5.

故秋千繩索的長度為14.5尺.

二?測湖深淺

例2中世紀,印度著名數學家婆什迦羅在其著作中提出了“荷花問題”:

平平湖水清可鑒,荷花半尺出水面.

忽來一陣狂風急,吹倒荷花水中偃.

湖面之上不復見,入秋漁翁始發現.

殘花離根二尺遠,試問水深尺若干.

此題意思是:湖中有一支荷花高出湖面半尺,被風一吹,荷花傾斜,正好與湖面持平,且荷花與原來位置的水平距離為二尺,問湖水有多深.

解:根據題意,畫出示意圖(如圖2).

在Rt△ABC中,BC = 2尺.

AC = AB + BD.由勾股定理,得

AB2 + 22 = (AB + 0.5)2.

解得AB = 3.75尺.

所以湖水深3.75尺.

三?丈量門寬

例3我國最早的一部數學專著《九章算術》里有這樣一道有趣的數學題:

城外一扇矩形門,和尚扛竿去量應.

橫著量之四尺余,立著量之二尺剩.

對角又復比一比,斜竿恰好端抵盡.

此門寬高各幾何,還有竹竿有幾深?

此題理解起來比較容易,意思是說一根竹竿比一扇矩形門的寬長四尺,比門的高長二尺,與門的對角線正好一樣長.求門的寬和高及竹竿的長.

解:據題意,作出示意圖(如圖3).顯然和尚用同一竹竿量了3次,設竹竿長為x尺,由勾股定理,得

x2 = (x - 2)2 + (x - 4)2.

整理,得(x - 10)(x - 2) = 0.

解得x1 = 10,x2 = 2(不合題意,舍去).

所以,門寬AB = 6尺,門高AD = 8尺,竹竿長AC = 10尺.

四?折竹抵地

例4今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.問:折者高幾何?

此題的意思是:一根竹子,原來高一丈(一丈為十尺),將竹子折斷,其頂端恰好抵地,抵地處與原竹子底部距離為三尺,問:原處還有多高的竹子?利用勾股定理解決本題,可先畫圖形,然后求解.

解:依題意作出示意圖(如圖4).

已知AC + AB = 10(尺). ①

BC = 3尺.由勾股定理,得AC2 - AB2 = BC2,即AC2 - AB2 = 9.

所以(AC + AB)(AC - AB) = 9.所以AC - AB = (尺).②

① - ②,得2AB = (尺).AB == 4.55(尺).故原處還有4.55尺高的竹子.

古代數學題看起來比較有趣,但做起來有一定難度,關鍵是要讀懂題意,能從題目中挑出有用的信息,然后利用所學的知識求解.Y

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