數學直覺思維能力的培養

林明成

我國數學教育長期以來以邏輯性、嚴密性、系統性為首要原則，這對數學教育的影響是深刻的.但過份強調邏輯性，就難免產生一些消極因素.特別是直覺思維長期得不到重視，學生在學習過程中認為數學是枯燥乏味的，從而喪失學習的興趣.因而過多地注重邏輯思維能力的培養，這就不利于思維能力的整體發展.令人欣喜的是《全日制中學數學教學大綱》(試驗修訂本)已將培養學生的三大能力之一的“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉了兩個字，但卻反映了我國數學教育者在實踐中已經認識到在注重邏輯思維能力培養的同時，還應注重觀察力、直覺力、想象力的培養.下面就直覺思維能力的培養，談談個人的認識和做法，以見教于同仁.

一、對數學直覺的認識

1.數學直覺的含義

龐加萊認為，直覺應該是邏輯的對立概念，數學直覺是人腦對于數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察，是一種“非同尋常的洞察力”.可見，數學直覺是指思維者對一個問題不受某種固定的邏輯規則約束，不是按部就班、步步為營地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，跳過若干中間步驟或放過個別細節，依據數學對象內在的和諧與關系，直接洞察，敏銳而迅速地作出假設，猜想或判斷，或者在對疑難問題百思不得其解之時，突然有了“靈感”和“頓悟”，甚至對未來事物的結果有“預感”等.

2.數學直覺的特點

從數學直覺的含義中我們可以看出，它在時間上表現為快速性(在一剎那間完成)，在過程上表現為跳躍性(跳過若干中間步驟或放過個別細節，是缺乏語言媒介的直接過程)，在形式上表現為簡約 性(直覺意味著籠統式綜合，與分析法相對立)，在本質上是一種歸納推理(直覺意味著不完全)，在結果上表現為可見性(產生某種直觀形象)、不可靠性(沒有證明的似真性，帶有主觀性的特點)、整體性(清楚地表現了事物的“本質”或“關鍵”，但某些細節可能是模糊的).

數學直覺是基于數學對象整體上的把握，不專注于細節的推敲，是思維的大手筆.正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外擴展，因而還具有反常規的獨創性.

如果教師把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生就只能把成功歸功于邏輯，而喪失“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗.迪瓦多內明確指出：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠的‘直覺.”因此，教師應當著眼于通過一定的可操作方式，促進學生獲得創造性直覺發生的可能性.

3.數學直覺是發明的源泉

從很多科學家的切身經驗中可以看出，直覺是發明的源泉.偉大的數學家、物理學家和天文學家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發明.”愛因斯坦說：“真正有價值的是直覺.”前蘇聯科學家德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動.”

從數學發展史上的一些重大發現中可以看出，直覺是發明的源泉.如歐幾里德建立幾何學，笛卡兒創立解析幾何，牛頓發明微積分，彭加勒發明富克斯函數，高斯對一個算術定理的證明，無一不是直覺思維的杰作.可以說，數學的發展大都是借助于數學家的直覺去推進的.

4.數學直覺是必不可少的思維形式

龐加萊明確指出“沒有直覺，年輕人在理解數學時便無從著手；他們不可能學會熱愛它，他們從中看到的只是空洞的玩弄詞藻的爭論；尤其是，沒有直覺，他們永遠也不會有應用數學的能力.”事實上，數學推理中的每一步，直覺都是不可缺少的，數學中的發現創造很多都是直覺思維的結果.正如富克斯所說：“偉大的發現，都不是按邏輯的法則發現的，而都是由猜測得到的.換句話說，大都是憑創造性的直覺得到的.”在數學學習過程中，直覺思維常常會給學生帶來意想不到的結論或是令自己吃驚的好的解題方法，讓學生嘗到“發現”的樂趣.

二、數學直覺能力的培養

“我以為獲得直覺的過程，必須經歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化”，迪瓦多內一語道破了直覺的產生過程.“直覺”不是靠“機遇”.直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想.徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的.”其實，直覺思維并不神秘，現代腦科學研究表明它是由于自由聯想或思維活動在有關某個問題的意識邊緣持續活動，當大腦功能處于最佳狀態時，舊神經聯系突然溝通形成鏈接，是左腦的邏輯思維力量協同右腦的直覺式反應后形成的思維.因此，在課堂教學中，我們應該做更多的工作，去發揮右腦的天資，形成左右腦真正的協同溝通，發展學生的直覺思維，努力使他們達到“真懂”或“徹悟”的境界.

1.培養學生敏銳的觀察力

數學解題過程的實質，從某種意義來說，就是從題設信息到結論之間的邏輯溝通過程，而題設和結論中的數、式、形、表等特征又為這種邏輯溝通的實現提供了暗示和導向.觀察既包括信息的輸入，又包括信息加工的初步過程，是有目的、有計劃地考察和描述客觀對象的方法.“跟著感覺走”是我們經常講的一句話，這里的感覺就是觀察產生的直覺判斷.因此觀察是數學解題產生直覺思維的起步器，是智力活動的源泉，是數學學習和創新必不可少的素質.在教學中，應該引導學生動筆之前先觀察題設和結論中的數、式、形、表等特征，觀察是否有隱含條件，觀察問題的整體結構等等.

例1 求玸in280°+玸in255°-2玸in80°?玸in55°的值.

分析：在三角問題中一些“特殊數值”，諸如1、12、22、32、2、3、33等，常出現在公式、定理、運算式中.基于細致觀察，我們產生這樣直覺：本題中2是一個特殊數值，可能對解題有幫助.這個直覺也許不對，但至少提供了一個思路.

將原式變形為玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°，注意到數值特征：80°+55°+45°=180°，及式子結構特征，不難聯想到余弦定理，至此我們已意識到直覺可靠.下面只是完成邏輯推演：

構造△ABC，使其外接圓直徑2R=1,A=80°,B=55°,C=45°.

由正弦定理，得a=玸in80°,b=玸in55°,c=玸in45°,∴玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°=a2+b2-2×ab玞os45°=c2=玸in2C=12.

2.培養學生對數學美的鑒賞力

縱觀古今，科學上的許多發現和創造，無論從宏觀還是微觀上看無不遵循美的創造規律.愛因斯坦看重宇宙的“統一與和諧”，法國數學家和天文學家拉普拉斯從牛頓力學中“感受到數學的完美性”，英國物理學家狄拉克從“數學形式的美”中發現了“物理世界的真”.

數學知識蘊含著豐富多彩的美的因素，數學概念的簡單性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題和數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等都是美的具體內容.難怪數學大師阿達瑪認為，數學直覺的本質是某種“美感”或“美的意識”.美感和美的意識是數學直覺的本質.

戴維斯與赫爾胥在《數學的經驗》中指出：“數學中的審美判斷是可以培養的，可以由上一代傳遞給下一代，由教師傳遞給學生，由作者傳遞給讀者.”因此，在教學中要充分利用數學美，形成“事物間存在著和諧關系及秩序”的審美意識，調動學生直覺思維的積極性.

例2 已知點A為橢圓C1:x24+y23=1上任意一點，點B為橢圓C2：(x+3)23+(y-3)24=1上任意一點，求|AB|的最小值.

分析：本題常規思路是根據所給的條件建立二元目標函數求解，但計算復雜.

如圖1，注意到C1與C2關于直線y=x+3對稱，因此原問題可轉化為求A到直線y=x+3的最近距離的2倍.

基于對稱性的審美直覺，我們反常規地思考，渡過了難關，不難求得

|AB|┆玬in=32-14.

3.培養學生豐富的聯想力

聯想是指一種心理過程引起與之相聯的另一種心理過程的現象.巴甫洛夫指出：思維就是聯想，一切數學都是各種聯想的形式.對某些數學問題，若能聯想一些形式相同的、思考方法類似的、結構類似的熟悉問題或常規問題，通過遷移將會悟出解決問題的思路.常見的聯想方法有：接近聯想、相似聯想、對比聯想和關系聯想.養成“一葉落而知天下秋”的聯想習慣，對培養直覺思維大有益處.

例3 求證：若對于常數m和任意的x，等式f(x+m)=1+f(x)1-f(x)成立，則f(x)是周期函數.

分析：從式子的特點能很快憑直覺聯想到玹an(x+π4)=1+玹an玿1-玹an玿，而玹an玿的周期為π，因而直覺判斷：只需證明f(x+4m)=f(x)即可.

基于結構相似的關聯直覺，我們快速地打通了思路.

4.培養數形結合的運用力

數與形是數學知識的兩個基本范疇，數與形的完美結合是數學的最高境界.數學家華羅庚曾十分精辟地論述：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”從某種意義上可以說，直覺思維則相當于圖像把握，而邏輯思維相當于符號把握.因此，對數學問題的直觀理解是頭等重要的事，引導學生通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺.通過數形結合的有效使用頻率形成人腦的優勢鏈接，產生優勢直覺，對數學學習和數學創造都是大有益處的.

例4 已知i為虛數單位，設A={z|z=2+2a+(2-2a)i,a∈R}，B={ω|ω=玸inθ-i玞osθ,θ∈R}，若z1∈A，z2∈B，求|z1-z2|的最小值.

分析：此題直接從代數角度難以下手，換一個角度，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺.

A表示直線l:x+y=4,∵ω=玸inθ-i玞osθ,∴|ω|=1,∴B表示以原點為圓心，1為半徑的圓.

至此，原形畢露，不禁心頭為之一喜，我們已經來到了成功的彼岸，因為|z1-z2|的最小值就是圓周上的點到直線l的最短距離.

如圖2，作OH⊥直線l，垂足H，易得|z1-z2|┆玬in=22-1.

上面解題過程表明，數學解題中存在著數與形的雙向溝通，存在著直覺選擇與邏輯分析的相互推動.在教學中，我們的主要力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起.

5.培養學生大膽的猜想力

猜想是由已知原理、事實，對未知現象及其規律所作出的一種假設性的命題.科學上的許多“發現”都是憑直覺作出猜想，而后才加以證明或驗證的.從數學發展的宏觀過程來看，猜想推動了數學的發展.“先猜測后證明”幾乎是一條規律，不論是歌德巴赫還是費馬，都是從有限的經驗教材出發，通過思維作出了大膽的直覺

判斷，提出了猜想.而這些著名的猜想又成為眾多數學家的激勵，成為他們論證的目標.于是在證明或否定這些猜想的過程中，數學得到了發展.

波利亞提出了“合情推理”的概念，明確指出：“在你證明一個數學定理之前，你必須猜想這個定理，在你搞清楚證明細節之前你必須猜想出證明的主導思想”，號召：“讓我們教猜想吧!”，因此，教師在教學中要“教學生證明問題”，也要“教他們猜想問題”.要幫助學生學會合理的猜想方法，創設使學生積極猜想的氛圍.讓學生猜想問題的結論，猜想問題的反面，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想極端化的情形，猜想知識間的有機聯系，甚至猜想定理的發現過程，猜想證明的獲得過程.讓學生把各種各樣的想法都講出來，推動其思維的主動性.還可以編制一些變換結論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發學生猜想的愿望和猜想的積極性.當學生被直覺引入歧途時，教師應鼓勵學生：這并不可怕，在明顯失敗的嘗試之后，會突然閃出一個“好直覺”.及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感.這樣有利于激發他們的數學直覺思維，并使數學直覺思維從表層、低層向深層、高層發展.

綜上所述，直覺是人類基本的思維形式，培養學生的數學直覺能力是科學性與創造性的工作.在數學教學中，只要認真觀察、留意捕捉、善于聯想、數形結合、歸納猜測，就一定能提高學生的數學直覺能力.

參考文獻

［1］張廣祥著.數學中的問題探究.上海：華東師范大學出版社，2003.

［2］馬忠林主編.數學學習論.廣西：廣西教育出版社，1999.

［3］雷瑞鵬.科學創造中的直覺.廣西：廣西教育學院學報，2001，2.

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