一道２００７年烏克蘭競賽題猜想的證明

王明建　楊國增　付宏彬

文［1］給出了一道2007年烏克蘭的競賽題：

設(shè)a,b,c>0,且abc≥1，求證

(玦)(a+1a+1)(b+1b+1)(c+1c+1)≥278;

(玦i)27(a3+a2+a+1)(b3+b3+b+1)?(c3+c2+c+1)≥64(a2+a+1)(b2+b+1)?(c2+c+1).

由于［1］的證明比較復(fù)雜，故文［2］給出了一個巧妙的證法，并提出一個猜想：

設(shè)a,b,c>0，且abc≥1，求證：

n3(a琻+a﹏-1+…+a+1)(b琻+b﹏-1+…+b+1)(c琻+c﹏-1+…+c+1)≥(n+1)3?(a﹏-1+a﹏-2+…+a+1)(b﹏-1+b﹏-2+…+b+1+1)(c﹏-1+c﹏-2+…+c+1)(1)

這里給出其證明如下

證明：當(dāng)a>0時，欲證(1)成立，須證a琻+a﹏-1+…+a+1a﹏-1+…+a+1≥n+12n(a+1)(2)

即須證(a-1)2［(n-1)a﹏-2+2(n-2)?a﹏-3+…+2(n-2)a+(n-1)］≥0,設(shè)f(n)=(n-1)a﹏-2+2(n-2)a﹏-3+3(n-3)a﹏-4+…+2(n-2)a+(n-1)(3)

只要能證明當(dāng)n≥2時，f(n)>0即可：

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來證之.

證明 ①顯然當(dāng)n=2時，有1>0，即ゝ(2)>0;當(dāng)n=3時，有2(a+1)>0,即f(3)>0.

②假設(shè)當(dāng)n=k時，有f(k)=(k-1)a﹌-2+2(k-2)a﹌-3+…+2(k-2)a+(k-1)>0，則f(k+1)-f(k)=ka﹌-1+(k-1)a﹌-2+…+2a+1>0,故有f(k+1)>f(k)>0.

由①、②知，對一切n≥2的自然數(shù)，都有ゝ(n)>0成立.

同理可證b琻+b﹏-1+…+b+1b﹏-1+…+b+1≥n+12n(b+1)；c琻+c﹏-1+…+c+1c﹏-1+…+c+1≥n+12n(c+1).

三式相乘得a琻+a﹏-1+…+a+1a﹏-1+…+a+1?b琻+b﹏-1+…+b+1b﹏-1+…+b+1?c琻+c﹏-1+…+c+1c﹏-1+…+c+1≥(n+1)323n3(a+1)(b+1)(c+1)≥(n+1)323n323?abc=(n+1)3n3，故(1)式成立.

顯然這兩個不等式都是(1)的特例.

注：1.文［2］中式(1)右端的系數(shù)(n+1)琻，應(yīng)改為(n+1)3才正確.

2.不等式(1)又可以進(jìn)一步推廣為

n琻∏ni=1(a琻璱+a﹏-1璱+…+a璱+1)≥(n+1)琻?

∏ni=1(a﹏-1璱+a﹏-2璱+…+a璱+1).(4)

參考文獻(xiàn)

［1］陳勝利.2007年烏克蘭競賽題及其證明.中國不等式研究小組網(wǎng)站.2007，2，18.

［2］鄒守文.一道2007年烏克蘭競賽題的簡證［J］.中學(xué)數(shù)學(xué).湖北.2007，8，P15.

［3］王明建.一個優(yōu)美不等式的證明及推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.江西.2008，2.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”