對兩個反證法證明的邏輯分析

楊錦義

命題一：如圖1，圓錐的軸截面為等腰直角三角形SAB，Q為底面圓周上一點，證明或否定二面角A-SQ-B是直二面角.

命題二：已知x>0，y>0，且x+y>2，求證：1+xy與1+yx中至少有一個小于2.

對于命題一，有同學是這樣證明的：

如圖2，取弧AB的中點為Q，取SQ的中點為E，連AE，BE，OQ，有OQ⊥AB.由三垂線定理得SQ⊥AB.∵軸截面為等腰直角三角形，∴SO=OB.于是SB=BQ=SQ,即三角形SBQ為正三角形.∴BE⊥SQ.同理AE⊥SQ.∴∠AEB為二面角A-SQ-B的平面角.設底面圓的半徑為R，∵軸截面為等腰直角三角形，SO=OB=R,SB=BQ=SQ=2R,BE=62R.由余弦定理得

玞os∠AEB=32R2+32R2-4R22×32R2=-13<0,

∴∠AEB是一個鈍角.即二面角A-SQ-B是一個鈍二面角，∴二面角A-SQ-B不是直二面角.

對于命題二，有同學是這樣證明的：

假設1+xy與1+yx都大于或等于2，則1+xy+1+yx≥4，對于滿足x>0,y>0，且x+y>2的x、y都成立.取x=2,y=2，有1+22+1+22=3<4，故1+xy與1+yx中至少有一個小于2.

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