一道２００７北方數學奧林匹克試題的推廣

鄒守文

2007第三屆北方數學奧林匹克第8題為

設△ABC的內切圓半徑為1，三邊長BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整數，求證：△ABC為直角三角形.

文［1］中劉康寧先生指出，該題曾刊登于《數學教學》2000年第1期“數學問題”欄.其實該題曾作為1988年四川省賽題［2］，筆者在文［2］中給出下面的問題：

求所有滿足條件的三角形的三邊長：(1)三角形的三邊長為整數；(2)三角形的內切圓半徑為2.

上述兩題分別等價于：

△ABC的周長是面積的2倍和△ABC的周長等于面積.

下面給出此類問題的一般性結論有：

求滿足下列條件的三角形的三邊長：(1)三邊長是整數；(2)周長是面積的整數倍.

解：設三角形的三邊長為a,b,c，周長是面積的k(k為整數)倍，由海倫公式，知

a+b+c=k?a+b+c2?a+b-c2?b+c-a2?c+a-b2,則4?a+b+c2=k2?b+c-a2?c+a-b2?a+b-c2①

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”