從新舊教材例習題的變化感悟課程理念

李建明

蔡上鶴先生認為“教科書由正文、例題和習題三部分有機組成的”.這就是說數學的例習題是數學教材的重要組成部分，所有數學教材無一例外地會配備大量的例題和習題.數學的例習題一方面起到了加深學生對概念、知識的理解，復習并鞏固知識的作用；另一方面也是培養學生能力的重要載體.但是長期以來我們很多一線教師往往重視了例習題的上述作用，而忽略或輕視了教材例習題的編寫對我們教學理念和教學思想的指導作用，往往由于不了解編者選題的真實意圖而降低了這些例習題的功能.本文通過對普通高中教科書(必修)與新課標教科書(人教A版)(以下簡稱老教材與人教A版)《函數》章中例習題的變化去感悟例習題中所蘊含的新課程理念，以期對我們的教學有所幫助.

1.改變設問方式加深概念理解

例習題的重要功能就是進一步促進學生對概念的理解，但同樣的背景素材由于設問方式的不同可能產生的效果就大不一樣，為了讓學生對相關概念有清晰而深刻的理解，人教A版教材在這一點上做得很細致，可謂是煞費苦心.

案例1 某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元，試用函數的三種表示法表示函數y=f(x)(人教A版P21例3).

初看此例好象與老教材相應例題沒什么區別，但仔細一比對，發現這其中有名堂.看老教材P54例1：某種筆記本每個5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本的錢數記為y(元).試寫出以x為自變量的函數y的解析式，并畫出這個函數的圖像.同樣的素材，僅僅改變了設問方式，很明顯讓我們感悟到編者的用意：讓學生對函數的三種表示法的“平等地位”的認識，函數的三種表示法是函數的三種不同表現形式，不同的表示法在不同的問題背景下有其各自獨到的優勢，在很多函數問題中能夠實現優勢互補，這就是“數形結合”這一數學思想方法的根源所在.如此學生對函數概念的理解會更加到位，更加清晰.

2.縮編題干信息注重數學本質

新課程強調數學應密切聯系生活實際，選擇學生身邊的事物，讓學生感受數學與生活的密切聯系，讓學生初步用數學的眼光觀察生活，用數學的思維思考生活，感受數學的魅力，從而使數學走進學生的生活.“數學生活化”是新課程的重要理念之一.但是片面追求“生活化”，缺少抽象化、數學化的提煉，忽視數學學科本身所具有的抽象性與嚴謹性，也是不利于學生數學水平的提高的.

案例2 某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定：(1)5公里以內(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里的按5公里計算).如果某條線路的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數圖像(人教A版P23例6).

我們知道此例題是為了讓學生理解分段函數而編寫的，老教材P54的例2(國內投寄信函的郵資問題，題目太長，略)也是這個目的，但老教材這個例題最明顯的一個缺點就是題干太長，信息量太大，學生解決問題的難點集中到了對題干信息的理解上，弱化了數學的本質.同樣下面案例的改編也是出于同樣的目的.

案例3 《中華人民共和國個人所得稅》規定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額.此項稅款按下表分段累計計算：

全月應納稅所得額稅率(%)不超過500元部分5%超過500元至2000元的部分10%超過2000元至5000元的部分15%某人一月份應交納此項稅款為26.78元，那么他當月的工資、薪金所得是多少?(人教A版P49復習參考題B組第7題)

此習題顯然改編自老教材P56習題2.2第6題，但題目長度不到原題一半，對現實的背景素材作了大量的裁減，使得問題的題干部分清楚而簡潔，而學生對原問題的困惑的原因正在于題干部分信息太多太復雜，所需解決的數學問題反而變得可有可無了，有點本末倒置的感覺.也正是這種改編，更好地體現了數學來源于生活，但又不能過于強調“生活化”的道理，數學教學應該在不失數學味的前提下恰當的生活化，這也是值得我們一線教師深思的問題.

3.整合相關例習題糾正“雙基異化”

課程標準指出：“應刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調細枝末節的內容，克服‘雙基異化的傾向”.在過去的數學教學中，往往對一些非本質的細枝末節的地方過分地做了人為化的技巧訓練.例如，對函數中求定義域過于人為化的技巧訓練，還有一些意義不大的計算題重復訓練等.這樣的訓練學生往往感到比較枯燥，漸漸地就會失去對數學的興趣，我們對學生基本技能的訓練，不單純是為了熟練技巧，更重要的是使學生通過訓練更好地理解數學知識的實質，體會數學的價值.

案例4 已知函數f(x)=x+3+1x+2,(1)求函數的定義域；(2)求f(-3),ゝ(23)的值；(3)當a>0時，求f(a),f(a-1)的值(人教A版P19例1).

此例題是由老教材P48與P49的兩個例題整合改編而來：例1求下列函數的定義域：(1)f(x)=1x-2;(2)f(x)=3x+2;(3)ゝ(x)=x+1+12-x.例2已知函數f(x)=3x2-5x+2，求f(3),f(-2),f(a),f(a+1).

案例5 人教A版P69例1也是由原教材P76的例1與例2刪減整合而成的.

從上述兩個案例中例習題的整合改編我們可感悟出編者的意圖就是盡量淡化求函數定義域中過于人為化的一些技巧訓練以及指對數運算中減少一些沒有多大意義的重復訓練，其目的就是為了實現新課標提出的克服“雙基異化”現象.這是廣大一線教師在教學中應予重視的，切不可仍“穿新鞋走老路”，我行我素.

4.增編探究性問題培養探究能力

數學探究性學習是高中數學新課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助于發展學生的創新意識和實踐能力.人教A版教材為體現新課程的這一理念，在探究性例習題的設置上做了很大的努力，除了在一些章節后專門設置“探究”問題外，還改編和增編了很多探究性的例習題，以更好地培養學生探究能力.

案例6 探究：畫出反比例函數y=1x的圖像.(1)這個函數的定義域Ⅰ是什么?(2)它在定義域Ⅰ上的單調性是怎樣的?證明你的結論(人教A版P33).

此探究題是由老教材P59的例3改編而來的：例3證明函數f(x)=1x在(0，+∞)上是減函數.

案例7 探究一次函數y=mx+b(x∈R)的單調性(人教A版P43習題1.3A組3).

此探究題是由老教材P60習題2.3的第1題改編而來的：分下列情況說明函數y=mx+b在(-∞，+∞)上是否具有單調性；如果有，是增函數還是減函數?(1)m>0;(2)m<0.

案例8 對于函數f(x)=a-22瑇+1(a∈R)：(1)探索函數f(x)的單調性；(2)是否存在實數a使函數f(x)為奇函數?(人教A版P91復習參考題B組第3題)，這是一道新增的探究性習題.

這種改編一方面通過觀察圖像，先對函數是否具有某種性質做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，讓學生了解這是研究函數性質的一種方法；另一方面也讓學生體會數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系.教材如此改編除了上述針對學生的目的外，對我們教師來說，更重要的是需要我們改變教學方式，盡量讓我們的教學能夠返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態具有積極的指導意義.

5.增編新題型適應新變化

翻看人教A版教材例習題最引人注目的是增編了很多新題型，題型設置比傳統教材要豐富得多，對學生能力的培養更為全面.長期以來很多新題型在各類試題中不斷出現，這些新題對 學生能力的培養有獨到之處，得到了廣大一線教師的認可，但在傳統教材中卻很鮮見，導致了學與考的不一致.人教A版在這方面做了大量的工作，首先鑒于選擇、填空題在培養學生的思維敏銳性、嚴密性方面有其獨特的作用，新教材比老教材多設置了部分選擇、填空題；更有意識地增編了很多能體現新課程理念，也能很好培養學生學習能力的新題型.

5.1 信息遷移題

信息遷移題是近年高考中涌現出來的熱點題型.解答這類題，需要閱讀并理解題目中所提供的新信息，并能加以運用.這對培養學生閱讀理解新信息、接受新事物、運用新知識的能力大有裨益.

案例9 函數f(x)=［x］的函數值表示不超過x的最大整數，例如［-3.5］=-4,［2.1]