與雙曲線直徑相關的一組優(yōu)美性質

吳賽瑛

最近，筆者借助幾何畫板，對雙曲線的直徑進行了探究，得到了與雙曲線直徑相關的一組優(yōu)美性質，敘述如下與大家共勉.

性質1 如圖1所示，AB為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的任一直徑，l是雙曲線在點A處的切線，若AB與l的斜率都存在，則AB所在直線斜率與l的斜率之積為b2a2.

證明：設點A的坐標為(a玸ecθ,b玹anθ)，則直線AB的斜率為k〢B=b玸inθa.可得l的方程為x玸ecθa-y玹anθb=1，從而可知l的斜率為k璴=玸ecθa?b玹anθ=ba玸inθ.故有k璴?k〢B=ba玸inθ?b玸inθa=b2a2.

性質2 如圖2所示，AB為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的任一直徑，點P是雙曲線上異于A和B的任一點，若AP與BP斜率都存在，則AP與BP斜率之積為b2a2.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”