圓錐曲線的又一統一性質

郭旭炯

圓錐曲線的很多性質都和其焦點有關，在此我們不妨稱準線和對稱軸交點為準點；以焦點在x軸上的圓錐曲線為例，定義點(±m(xù),0)、(±a2m,0)為類焦點、類準點，本文試圖對它們之間的聯系作些思考.

定理1 已知圓錐曲線C的焦點為F，A為其對應準點，過點F的直線交圓錐曲線C于P、Q兩點，R為圓錐曲線C上異于P、Q的點，則直線RQ過準點A的充要條件是P、R關于x軸對稱.

證明：不妨以焦點在x軸上的橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)為例，設焦點F(c,0)，對應準點A(a2c,0).

若把上述性質中的焦點換成類焦點，則可以把性質推廣到更一般的情形.

定理2 已知圓錐曲線C的類焦點F′，A′為其對應類準點，過點F′的直線交圓錐曲線C于P、Q兩點，R為圓錐曲線C上異于P、Q的點，則直線RQ過類準點A′的充要條件是P、R關于x軸對稱.

略證：不妨以焦點在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)為例，設類焦點F′(m,0)，對應類準點A′(a2m,0)，則上述證明過程中以m代c即證.

參考文獻

［1］陳天雄.一道高考解析幾何試題的引申及推廣.數學通報，2002年第6期.

［2］蘇立標.橢圓的“類準線”的性質初探.中學數學教學2007年第3期.