從２００８年廣東文科數學試題中數列壓軸題的解法看遞推關系求通項的常見類型

陳水松　詹　波

今年廣東文科數學的最后一題是

設數列｛a璶｝滿足a1=1,a2=2,a璶=13?(a﹏-1+2a﹏ -2)(n=3,4，…).數列｛b璶｝滿足b1=1,b璶(n=2,3,…)是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有-1≤b璵+b﹎+1+…+b﹎+k≤1.

(1)求數列｛a璶｝和｛b璶｝的通項公式；

(2)記c璶=na璶b璶(n=1,2,…)，求數列｛c璶｝的前n項和S璶.

本文僅對｛a璶｝的通項公式的求解作一探討，請同仁指正.

解法一：由a璶=13(a﹏-1+2a﹏-2),得a璶-a﹏-1=-23(a﹏-1-a﹏-2)(n≥3),又a2-a1=1≠0,∴數列｛a﹏+1-a璶｝是首項為1公比為-23的等比數列，a﹏+1-a璶=-23﹏-1,

∴a璶=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a璶-a﹏-1)=1+1+(-23)+(-23)2+…+(-23)﹏-2=1+1-(-23)﹏-11+23=85-35?(-23) n-1.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”