一道考題講評的教學思考

廣東東莞高級中學 523128

摘要：本文從評講東莞市2007—2008學年度第二學期教學質量檢查中高二文科數學的最后一道證明題入手，提出教師應勇于上好“回爐課”，重視有益的“意外”，營造良好的民主課堂氣氛，妥善而有效地啟發學生，使學生找到解決問題的漂亮證法.

關鍵詞：回爐課；課堂實錄；教學思考；有益的“意外”

1. 提出問題

在東莞市2007—2008學年度第二學期教學質量檢查中，高二文科數學的最后一道題為

已知數集序列｛1｝，｛3，5｝，｛7，9，11｝，｛13，15，17，19｝，…其中第n個集合有n個元素，每一個集合都是連續正奇數組成，并且每一個集合中的最大數與后一個集合中的最小數是連續奇數.

（1）求數集序列第n個集合中最大數an的表達式；

（2）設數集序列第n個集合中各數之和為Tn.

①求Tn的表達式；

②令f（n）=（n∈N*），求證：當n≥1，n∈N*時，總有

f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）<.

這是一道數列與不等式相結合的綜合題. 上午考試剛結束，學生便反映最后一問的證明題較難. 考完試恰好又上數學課，于是學生們都催促我講解最后一問. 由于下午才進行集中評卷，我也不知道學生解題的具體狀況，于是便將慣用的解法寫了出來.

證明（2）前面已求得an=n2+n－1；Tn=n3.

于是f（n）=，當n≥2時，有

所以++++…+<1+=，得證.

講解時，我特別強調，<=

－與<=－類比，是獲得解題思路的關鍵，但評講完后，學生仍覺得很難想到通過類比得到這種放縮結構，望著學生疑惑的眼神，我深知有必要對此題的講評進行“回爐”.

2.課堂實錄

下午集中評卷時，我負責評審此題，結果發現真正用我講評的方法解題的全年級僅有8人，許多學生沒有證明出題目本身的的結論，而是證出了其他結論，現摘錄如下：

結論1n≥1，n∈N*時，總有++++…+<2.

證明當n≥2時，<<=－，

所以++++…+<2－<2，得證. （證明出此結論的學生最多）

結論2n≥1，n∈N*時，總有++++…+<.

證明當n≥2時，<<==

所以++++…+<1+1+

結論3n≥1，n∈N*時，總有++++…+<.

證明當n≥2時，有

這些證明是徒勞無功的，只能給零分. 此時，學生們都紛紛扼腕嘆息！

當我正想轉入其他題目的講解時，突然有個學生甲舉手說：“老師，我有發現！”語氣中透著興奮，“我發現2=，，=，分母都是4，分子不斷遞減，再往后不就是考題中的嗎？這說明可利用他們的方法證明這個考題！”

接著學生乙也興奮地站起來說：“老師，我也有新發現！”我示意他接著說，“我發現2=，，分子、分母均不斷遞增，再往后就是，，，，等，這也說明可以利用他們的方法證明這個考題！估計還有許多命題可以證明，如++++…+<，++++…+<等等！”

頓時，教室里群情激昂，議論紛紛，課堂里出現了“意外”. 于是我迅速表揚了這兩位同學的探索精神，肯定了他們的發現，并要求全體學生進行討論.

馬上有學生發現：++++…+=1.200 222>，而>>>…因為=1+隨著n的增大逐漸減小，所以能證明的命題只有++++…+<和考題本身，那么怎樣證明呢？

此時，教室里一片寂靜！突然，學生丙走上講臺，在黑板上寫出了自己的證明過程：

當n≥2時，有n3－3n（n－1）=n

“你是怎樣想到這個方法的？”我問. 學生丙說：“因為=1+，而我對=－又非常熟悉，所以才想到這個解法.”

“說得好，任何解題思路都源于對目標的結構分析和解題經驗的積累，那么考題能否用此法證明呢？”我充分肯定了學生丙對解題思路的分析，并對全體學生提出了新要求.

很快，幾位基礎中等的學生舉起了手，于是我讓學生丁在黑板上寫出自己的證明過程：

當n≥2時，有n3－4n（n－1）=n（n－2）2≥0，所以n3≥4n（n－1），

望著黑板上整齊的書寫和講臺下興奮的學生，我心里非常高興，“同學們，通過這節課的學習，我們對這道考題有了更深刻的認識. 幾位同學的這種善于聯想、勇于創新的學習習慣很值得我們學習，很多人常說，數學難，難于上青天，那么我要說，通往青天的云梯就在同學們的手中！”接著，下課鈴響了……

3.教學思考

（1）要勇于上“回爐課”

“回爐課”的實質是教師對自己的課堂教學效果的反思行為，由于種種原因，教師對學生在某些方面的預想與學生真實的知識層次之間存在一定的差距，往往會造成課堂效果的弱化，這時上“回爐”課就顯得非常有必要.

（2）把握時機，及時調整

對每一堂課，教師們都有自己完成教學任務的目標和計劃，但課堂上常常也會出現一些有益的“意外”，對這些有益的“意外”的重視和有效處理，既能體現教師對學生真正的人文關懷，又能產生心理學中所說的“同體觀”效應，即自己人效應，從而獲得良好的教學效果.

（3）在課堂上要主動營造民主氣氛

新課程標準的課堂是活動的課堂，更是師生之間討論與合作交流的課堂. 要確保達成課堂教學的目的，就必須讓學生暴露其思維認知的過程. 因此，教師要把握好自己是引導者、組織者、合作者的角色，營造良好的課堂民主氣氛，還要有意識地留出時間和空間讓學生盡情地展示自己，變被動聽講為主動探索，做到相信學生、依靠學生、發動學生.