幾何點組的“質心”

摘要：本文類比物理學中“質心”的理論，建立了數學中幾何點組的“質心”的理論，得到了幾何點組的“質心”的一些相關性質，并對這些性質加以應用.

關鍵詞：幾何點組；質量；“質心”

我們已經知道數學為物理學的研究提供了很多的方法，其實，反過來用一些物理學原理來認識和解決數學問題往往會顯得更加巧妙、簡捷.

物理學里面，在對整個質點組運用動力學基本定理時，我們發現質點組中恒有一個特殊點，它的運動很容易被確定，我們把這個特殊點叫做質點組的質心. 實際上，質點組A1，A2，…，An-1，An的質心是滿足下面等式的點G.

m1+m2+…+mn-1+mn·=0 （*）

其中，mi為質點Ai的質量.

對于幾何中的點（幾何點），我們可以根據需要理解為帶有一定“質量”的質點，這樣若干個質點就有一個質心. 下面類比物理學中的“質心”的理論，建立起數學中幾何點組的“質心”的理論.

若沒特別說明，下文都用記號mi表示幾何點Ai的“質量”，其中i=1，2，…，n.

定義對于幾何點組A1（m1），A2（m2），…，An（mn），若m1+m2+…+mn不為0，則稱滿足下面等式

m1+m2+…+mn=0的點P為幾何點組A1（m1），A2（m2），…，An（mn）的“質心”，把m1+m2+…+mn的值作為點P的“質量”.

注意：物理中的質點的質量受客觀條件的限制，當然要求mi>0，但在本定義中幾何點的“質量”也可以為非正數，它是我們根據需要賦予的.

性質1 幾何點組A1，A2的“質心”一定在直線A1A2上，特別地，若m1>0，m2>0，則它在線段A1A2上.

性質2 幾何點組A1，A2，…，An的“質心”為P，對于任意點Q有

=.

性質3 幾何點組A1，A2，…，An的“質心”唯一.

性質4 若幾何點組A1，A2，…，An-1的“質心”為Pn-1，m1+m2+…+mn≠0，則幾何點組A1，A2，…，An-1，An的“質心”是且僅是幾何點組Pn-1，An的“質心”.

由性質1和性質4可得出以下推論.

推論 對于幾何點組A1，A2，A3，若m1+m2+m3≠0，點P，Q分別是幾何點組A1與A2和A1與A3的“質心”，則

（1）直線A3P和直線A2Q的交點O為點組A1，A2，A3的“質心”；

（2）直線A1O與直線A2A3的交點R為點組A2，A3的“質心”；

（3）點組A1，R，點組A2，Q以及點組A3，P的“質心”都是O.

1. 幾何點組的“質心”在處理線段交點問題中的應用

例1（2007江西）如圖1，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于M，N，若=m，=n，則m+n值為.

[M][O][B][C][N][A]

圖1

解析當過點O的直線是直線BC時， 顯然m=n=1. 當過點O的直線是非直線BC時，分別賦A，M，C的“質量”為（n-1）（1-m），m（n-1），（1-m）. 因為=m，=n，所以

（n-1）（1-m）+（n-1）m=0，

（n-1）（1-m）+（1-m）=0，

所以B是A，M的“質心”，mB=mA+mM=n－1，N是A，C的“質心”. 又由推論可得O是B，C的“質心”，于是mB+mC=0，（n-1）－（1-m）=0，故m+n=2.

例2 證明平面幾何中的梅涅勞斯定理. 該定理如下：

梅氏定理在△ABC中，設點D，E，F分別是邊BC，AB，AC（或它們的延長線）上的點，D，E，F三點共線當且僅當··=－1（此等式中的線段為有向線段）.

證明如圖2所示，設直線DE交直線AC于H，=s，=t，=r. 當賦予A，B，D適當的“質量”使得E，C分別是A與B和B與D的“質心”時，由推論便知H為A，C的“質心”.

[A][E][B][C][D][G][H][F]

圖2

于是，由=s，=t可得，+s=0，（1+t）+（-1）=0. 當分別賦A，B，D的“質量”為1，s，－s（t＋1）時，就有mA·=mB·，mB·=mD·，于是E，C分別是A與B和B與D的“質心”，所以mC=mB+mD=－st，H為A，C的“質心”，因此mA+mC=0，r=. 設=q， D，E，F三點共線當且僅當F與H重合，若F與H重合，則有q=r=#8658;s·t·q=-1#8658;··=－1. 即是說D，E，F三點共線當且僅當··=－1，故命得證.

在用幾何點組的“質心”處理線段交點的問題時，應注意體會給幾何點賦質量的原則. 另外有興趣的讀者不妨用例2的方法證明一下塞瓦定理，一定會有收獲！

在物理學中我們利用（*）式的分量形式，可以得到計算質心的坐標公式（二維的）：

利用此公式可以求解幾何點組“質心”的坐標. 如果用這個公式求解解析幾何的線段交點的坐標，就會避免過于復雜的運算（具體例題可詳細參考《數學教學通訊》第225期戴宇老師的文章“質點組的質心公式的應用”中的例1）. 實際上，質心的坐標公式是三角形重心坐標公式的推廣.

2. 幾何點組的“質心”在三角形的“心”中的應用

例3 O為△ABC內滿足+2+4=0的一點，若△ABC的面積為14，則△OAB的面積是.

解析如圖3所示，延長CO交AB于點D. 分別賦A，B，C的“質量”為1，2，4，由于+2+4=0，所以O為A，B，C的“質心”. 由推論知D，O分別是A與B和C與D的“質心”，所以mD=mA+mB=3，mC+mD=0，=，于是==，則△OAB的面積是8.

[D][B][C][O][A]

圖3

關于例3，有更一般的結論. 設O為△ABC內滿足r+s+t=0的點， 則S△OBC : S△OAC : S△OAB : S△ABC=r : s : t : （r+s+t），于是有S△BOC+S△COA+S△AOB=0. 此結論按照例3的思路很容易證明.

在上面結論的鋪墊下容易得到三角形五“心”向量形式的充要條件.

例4 設O為△ABC所在平面上的一點，則

（1）O為△ABC的重心#8660; ++=0；

（2）O為△ABC的外心#8660;sin2A·+sin2B·+sin2C·=0，

O為△ABC的外心#8660;（tanB+tanC）·+（tanA+tanC）·+（tanA+tanB）·=0；

（3）在非直角三角形中，

①O為△ABC的垂心#8660;tanA·+tanB·+tanC·=0；

②O為△ABC的內心#8660; sinA·+sinB·+sinC·=0；

③O為△ABC的旁心#8660;-sinA·+sinB·+sinC·=0，

O為△ABC的旁心#8660;sinA·-sinB·+sinC·=0，

O為△ABC的旁心#8660;sinA·+sinB·－sinC·=0.

證明（1）略.

（2）必要性. 由O為△ABC的外心得

OA=OB=OC，∠AOB=2∠C，

∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B，

所以sin2A·+sin2B·+sin2C·=0.

充分性可由“質心”的唯一性證得.

另一充要命題可利用等式sin2A : sin2B : sin2C=（tanB+tanC） : （tanA+tanC） : （tanA+tanB）進行證明.

（3）必要性. 如圖4所示，H是△ABC （不妨設∠A>90°）的垂心，連結AH，BH，CH，分別交BC，AC，AB（或它們的延長線）于D，E，F，分別賦A，B，C的“質量”為tanA，tanB，tanC. 由AD=tanB·BD=tanC·CD，tanB·+tanC·=0得D是B，C的“質心”. 由BE=－tanA·AE=tanC·CE，可得tanA·+tanC·=0，故E為A，C的“質心”，所以BE，AD的交點H為A，B，C的“質心”，所以有tanA·+tanB·+tanC·=0.

充分性可由“質心”的唯一性證得.

[H][E][F][A][B][D][C]

圖4

上述五“心”向量形式的充要條件會給我們研究五“心”的位置及其相互關系帶來方便. 下面就用歐拉定理的證明來說明這一點.

例5 歐拉定理△ABC的外心、質心、垂心分別為O，G，H，則O，G，H共線且OG=GH.

證明在直角三角形中，該定理顯然成立. 下面討論△ABC為非直角三角形的情形.

因為G為△ABC的重心，所以++=0. 若賦A，B，C的“質量”都為1，則G為A，B，C的“質心”. 由性質2得

=.

因為H為△ABC的垂心，所以tanA·+tanB·+tanC·=0. 分別賦A，B，C的“質量”為tanA，tanB，tanC，則H為A，B，C的“質心”. 由性質2得

又因為O為△ABC的外心，所以

（tanB+tanC）·+（tanA+tanC）·+（tanA+tanB）·=0.

于是可得

綜上，歐拉定理得證.

3. 利用幾何點組的“質心”認識Jenson不等式

凸函數定義設函數f（x）在區間I上有定義. 若對任意的x1，x2∈I 和任意的t∈（0，1），有

f（tx1+（1－t）x2）≤tf（x1）+（1－t）f（x2），則稱f（x）在區間I上是凸函數.

[A1][A2][B][A][x1][x][x1][x2][x][O][y][f（x）][·][·]

圖5

根據凸函數的定義容易得到其幾何意義為：函數曲線上任意兩點A1與A2之間的弧段位于線段A1A2的下方，函數曲線上方的任意點與函數曲線上任意點的連線在函數曲線的上方（如圖5）.

Jenson不等式若函數f（x）在區間I上是凸的， 則有f（q1x1+q2x2+…+qnxn）≤q1 f（x1）+q2 f（x2）+…+qnf（xn），

其中，xi∈I，qi>0，i=1，2，…，n，且q1+q2+…+qn=1.

我們一起來認識（也許談不上嚴格證明）：記A1（x1，f（x1）），A（x2，f（x2）），…，An（xn，f（xn）），賦Ai的“質量”為qi，i=1，2，…，n.利用質心的坐標公式，可得點組A1，A2，…，An-1，An的“質心”G的坐標為（q1x1+q2x2+…+qnxn，q1f（x1）+q2f（x2）+…+qnf（xn））. 記點組A1，A2，…，Ai的“質心”為Pi，i=1，2，…，n，則由性質4知A1，A2，…，As的“質心”Ps為As，Ps-1的“質心”，s=3，4，…，n. 由性質1知P2在線段A1A2上，又由凸函數的幾何意義，可得P2在函數f（x）曲線的上方. 由此可知，點組A1，A2，A3的“質心”P3既在線段P2A3上，也在函數f（x）曲線的上方…點G在函數f（x）曲線的上方，所以f（q1x1+q2x2+…+qnxn）≤q1f（x1）+q2f（x2）+…+qnf（xn）.