活用變形公式 巧解客觀試題

江蘇南通第三中學226001

摘要：本文詳細闡述了“源于教材而高于教材”的思想，并通過一個示范解析了應對高考數學的策略． 突出要求我們嘗試盡可能多地去把握高中數學里的典型問題的典型結論，并嘗試在典型結論的基礎之上研究新問題．

關鍵詞：典型結論；面積射影定理；正弦余弦定理

在解數學高考題時，一般都要使用教材中的定義、公式和定理等． 對于高考中的客觀題，除了使用上述手段外，我們還可將課本中某些典型例題或習題的結論，作為解答客觀題的有效工具，并稱其為變形公式． 此外，我們將課本上某些概念、性質延伸后所得到的結論也稱之為變形公式．

現在許多高考題是源于課本，而又高于課本的． 其一般有如下兩種體現方式：一是原型題，即將課本中的例、習題僅作數據上的變化后作為試題；二是改編題，即以課本中的例、習題為背景，通過科學演繹得出的真命題． 從總體趨勢來看，這種源于課本的高考題，原型題越來越少，而改編題越來越多，這是由于改編題立意新穎，真正體現了源于課本，而又高于課本的特點． 改編題既然是源自課本，自然可用同樣源自課本的變形公式來求解．

1. sin2α-sin2β=sin（α+β）sin（α-β）

這個變形公式是課本中的一個例題．從左到右，是將正弦的平方差直接化積；從右到左，是將正弦的乘積化為平方差．

例1 sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）

A. B.

C.D.

解析sin20°cos70°+sin10°sin50°=

sin220°+sin（30°-20°）sin（30°+20°）=

sin220°+sin230°-sin220°=sin230°=．

選A．

例2 設cos2α-cos2β=m，則sin（α+β）·sin（α-β）的值是（）

A. m B. -m C.D. -

解析由cos2α-cos2β=m可得

（1-sin2α）-（1-sin2β）=m，

所以sin2α-sin2β=-m．

由變形公式得sin（α+β）sin（α-β）=-m．

點評該變形公式結構上類似平方差公式，但形式上不完全相同，有一種對稱之美．運用它能巧妙地解決一類三角求值的問題，給人以舉重若輕的感覺．

2. 在三角形△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA．

我們不妨稱這個變形公式為正弦余弦定理． 它是由正弦定理===2R及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA消去a，b，c后而得到的．

例3 cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值等于（）

A.B.C. - D. -

解析cos210°+cos250°-sin40°sin80°=sin280°+sin240°-2sin80°sin40°cos60°=sin260°=

選B．

點評由于該變形公式是將余弦定理中的邊化角而得到的，即它是以三角形為背景的，因而使用時要注意公式中的三個角之和必須為180°（或π)．

3. S′=Scosα（面積射影定理）

該變形公式我們可稱其為面積射影定理，其中S表示某個平面圖形的面積，S′表示它在另一個平面內射影的面積，α是表示這兩個面所成的二面角．

例4 側面為等邊三角形的正三棱錐，其側面與底面所成二面角的余弦值是（）

A.B.

C.D.

解析由題意易知，該正三棱錐為正四面體，此時求二面角α的余弦，不必作出其平面角，只需利用變形公式S′=Scosα即可．

例5 已知正三棱臺上下底面的邊長分別為3 cm和6 cm，斜高是 cm，那么側面與底面所成的二面角等于（）

A.B.C.D.

解析因為 S側=3××=

，S下-S上=（62-32）=．

所以由變形公式S′=Scosα得cosα=，即α=，選C．

點評該變形公式不僅適用于棱錐、棱臺，也適用于圓錐、圓臺（在圓錐、圓臺中α是母線與底面所成的線面角）． 我們可運用該公式直接解答客觀題，但在簡答題中應先證明后應用．

4. cosθ=cosθ1cosθ2（空間圖形中的余弦公式）

如圖1所示，AO與平面α所成的角是θ1，OC在平面α內，OC與AO在平面α內的射影OB所成的角是θ2，設∠AOC=θ，則cosθ=cosθ1cosθ2，我們稱這個結論為空間圖形中的余弦公式，它是課本中的一道練習題．

[A][B][C][D][O][α]

圖1

例6 如圖2所示，以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕，使△ABD和△ACD折成相互垂直的兩個平面，則∠BAC的度數為多少．

解析設△ACD所在的平面為平面α，則AC#8834;平面α，AB是平面α的一條斜線，因為平面ABD⊥平面ACD，且BD⊥AD，BD⊥平面α，設∠BAD=θ1，∠CAD=θ2，∠BAC=θ，則θ1=θ2=45°，所以cosθ1=cosθ2=，所以cosθ=cosθ1cosθ2=·=．

即∠BAC=θ=60°．

例7 如圖3所示正三棱錐S-ABC的側棱SA與底邊AB所成的角為45°，則SA與底面所成的角的正切等于（）

A.B. 2 C.D.

[O][B][C][A][S]

圖3

解析作SO⊥底面ABC于O，

由題意O是正△ABC的中心，

則AO是側棱SA在底面上的射影，

∠SAO=θ1，∠OAB=θ2=30°，

∠SAB=θ=45°且θ1即為SA與底面所成的角．

由cosθ=cosθ1cosθ2，

即cos45°=cosθ1cos30°，

得cosθ1=，

所以tanθ1=，選C．

點評該變形公式在應用時特別要注意三個角分別是什么角，其中θ為斜線與平面內某直線的夾角，而θ1則是斜線與平面所成角． 故在運用時一定要有線面垂直的條件．

實際上，類似這樣的“變形公式”還遠不止這些，有的老師把它們總結成“小竅門”“小錦囊”等等． 對于基礎較好的學生掌握這些“竅門”“錦囊”對靈活解題是大有裨益的．