從“美學”角度解讀高考數(shù)學試題

重慶豐都中學408200

摘要：本文以數(shù)學中體現(xiàn)的各種美為主線，不僅從美的角度解讀各類高考試題，還從本質(zhì)上探討了高考數(shù)學試題的優(yōu)美之處．

關(guān)鍵字：數(shù)學美；和諧美；統(tǒng)一美；簡潔美；簡約美；殘缺美；極限美；奇異美；創(chuàng)新美

1. 數(shù)學美概說

數(shù)學美是一種真實的美，是美的高級形式，是理論思維與審美意識交互的產(chǎn)物． 數(shù)學美的含義是豐富的，如數(shù)學概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學命題與數(shù)學模型的概括性、典型性和普遍性等． 數(shù)學美在中學課本里均有體現(xiàn)，例如在解析幾何中，不同的圓錐曲線、橢圓、雙曲線和拋物線可以用一個統(tǒng)一的定義，即平面上到定點和到定直線的距離的比為常數(shù)的動點的軌跡． 如此和諧統(tǒng)一，讓人不得不贊嘆數(shù)學的美妙！在數(shù)學教學中我們要充分挖掘教材中美的因素，讓學生領(lǐng)略數(shù)學中的美麗風景． 數(shù)學的美學思維就是從美學的角度觀察、思考和分析數(shù)學問題，從而達到解決問題的目的．

2. 從“美學”角度解讀高考題

2.1 用數(shù)學的和諧美、統(tǒng)一美探尋高考數(shù)學的解題思路

數(shù)學是和諧美的殿堂，數(shù)學是一個嚴密的科學體系，各部分知識間有機聯(lián)系和高度完善，無論形式還是本質(zhì)都是和諧的，所以我們說數(shù)學是和諧的殿堂． 由于數(shù)學的和諧性，形成了數(shù)學各部分知識的交匯點、網(wǎng)絡(luò)點、聯(lián)結(jié)點． 而高考數(shù)學正是從學科整體意義和這些知識的交匯點來設(shè)計試題的． 因此，高考數(shù)學考查的是考生的系統(tǒng)化的、相互聯(lián)系的、和諧的數(shù)學知識． 那種一知半解，沒理解數(shù)學本質(zhì)，只知支離破碎的、零散的數(shù)學知識的考生在數(shù)學高考中是不能取得好的成績的．

一個嚴謹?shù)母呖荚囶}是一個有機的整體，其各個部分之間具有和諧性，但是這些和諧關(guān)系的外部表現(xiàn)形式可以是多種多樣的，有的甚至是繁雜的，包括試題中條件與結(jié)論的和諧、數(shù)與形的和諧、數(shù)學思想與思維的和諧、解題方法與思維策略的和諧等． 另一方面，數(shù)學中的矛盾，如正與負、等與不等、數(shù)與形、有理數(shù)與無理數(shù)、常量與變量、邏輯思維與非邏輯思維等和諧共生，實現(xiàn)對立統(tǒng)一和相互轉(zhuǎn)化．

例1（2006重慶）若a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4-2，則2a+b+c的最小值為（）

A．－1B． +1

C． 2+2D． 2－2

解析我們發(fā)現(xiàn)條件式a（a+b+c）+bc和結(jié)論式2a+b+c都有不和諧的地方，這樣我們就要消除不和諧因素，以達到和諧一致之目的. 式子2a+b+c變形為（a+b）+（a+c），從而找到了條件與結(jié)論的聯(lián)系，即（a+b）（a+c）=a2+ac+ab+bc=a（a+b+c）+bc，結(jié)合均值不等式即得解題思路. 所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2·=2－2.

2.2 用數(shù)學簡潔美、簡約美獲取高考數(shù)學的解題佳徑

簡潔美是數(shù)學美的本質(zhì)體現(xiàn)，無論是數(shù)學語言還是數(shù)學證明（解答），處處體現(xiàn)著數(shù)學的簡潔美． 就數(shù)學語言的簡潔性，我們從愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2就可見一斑，這一公式表達了深刻而復(fù)雜的理論，換用其他詩的語言、散文的語言、通俗的大白話都不能很好地或者很準確地表述． 又如歐拉公式eiπ+1=0． 這個公式把數(shù)學里既富有魅力又具備霸權(quán)的三個量（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，而π是眾所周知的圓周率）居然統(tǒng)一在如此簡潔的一個明晰爽朗的式子里，這個公式讓e，i，π，1，0五朵金花并立，更令其顯得玉立娉婷！

例2已知橢圓方程為+y2=1，過D（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點M，N，且M在D，N之間，設(shè)=λ，求λ的取值范圍．

[x][y][D][M][N][O]

圖1

解析本題作為解答題較難，若利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系進行求解，則有一定的計算量；若從數(shù)形結(jié)合的角度思考，則可得簡捷的解答． 如圖1直線MN是過點D的直線系，當直線MN與x軸垂直時，|DM|最小而|DN|最大，這時得到λ的最小值為，當直線MN與橢圓相切時，這時M，N重合，λ=1，又|DM|<|DN|，所以λ的取值范圍為

，1.

2.3用數(shù)學的殘缺美、極限美，打破高考數(shù)學的常規(guī)思路

在美學史上，一些藝術(shù)家試圖給維納斯接上斷臂，結(jié)果達不到很好的藝術(shù)效果． 這說明維納斯的斷手給我們無限的想象空間，這就是殘缺美、極限美． 數(shù)學中直線、平面等也都給我們無限想象的空間． 如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐P-ABC，在解題中，如果我們把這樣的三棱錐想象成長方體的一只角，就能自然地解決一些問題．

例3 （2001全國）一間民房的屋頂有如圖2所示的三種蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜. 記三種蓋法屋頂面積分別為P1，P2，P3． 若屋頂斜面與水平面所成的角都是θ，則（）

A． P3>P2>P1B． P3>P2=P1

C． P3=P2>P1D． P3=P2=P1

① ② ③

圖2

解析 該題以民房的建筑形式為背景，把立體幾何與住房建筑形式結(jié)合起來，情景新穎真實，是數(shù)學大眾化、平民化和生活化的典范． 本題也常規(guī)思維是用立體幾何二面角公式cosθ=來思考，可得P3=P2=P1=，選D． 本題可以用極限思想來思考，若θ無限接近0，則得P3=P2=P1． 這一方法打破常規(guī)思路，另辟蹊徑，得到簡捷解法．

2.4 用數(shù)學的奇異美、創(chuàng)新美破解高考數(shù)學壓軸題

數(shù)學的奇異美是指數(shù)學中原有的習慣法則和統(tǒng)一格局被新的事物（思想、方法、理論）所突破． 它顯示出客觀世界的多樣性，是數(shù)學思想的獨創(chuàng)性和數(shù)學方法新穎性的具體體現(xiàn)． 它常常給人一種新穎、新奇的美感． 它往往打破常規(guī)思維，另辟蹊徑、別出心裁，從意想不到的角度出發(fā)得到一些簡捷的妙解． 壓軸題多數(shù)要用奇異美、創(chuàng)新美思維解決問題． 這種題更多地要使用逆向思維、極限思維、由特殊到一般思維、猜想證明思維、數(shù)形結(jié)合等思維，或妙用公式定理破解高考難題．

例4（2005重慶）有一個塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖3所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是（）

A． 4B． 5C． 6D． 7

圖3

解析本題考查空間想象能力，若直接把每個正方體的表面積算出，然后相加，運算量大，容易出錯． 利用空間想象思維，所有正方體上底面在底面的射影恰為一個最大正方體的一個底面，現(xiàn)只須考慮各正方體的側(cè)面積和最大正方體的底面積． 從下到上各個正方體的邊長依次為a1=2，a2=，a3=1，a4=，a5=，…側(cè)面積依次為b1=16，b2=8，b3=4，b4=2，b5=1，…所以各層塔形的表面積為側(cè)面積之和加8. 這樣可分別求出k層塔形的表面積分別為S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以該塔形中正方體的個數(shù)至少是6層，選C. 本題創(chuàng)造性地利用射影的相關(guān)知識，給人一種清新、新奇的感覺，它常能激發(fā)學生的好奇心和求知欲，它突破了常規(guī)思維，將有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力．

2.5 用數(shù)學的自然美、自由美思考解答高考數(shù)學題

人類是自然的一部分，自然美是美之最． 數(shù)學教育作為一種社會現(xiàn)象，也就有希望依傍自然，適應(yīng)人的自然性，借助自然的偉大力量去得到美好的現(xiàn)實． 因而我們的數(shù)學教育如果依托自然之力，就會勢如破竹，左右逢源，當前數(shù)學教育的許多問題將會一順百順，進而人的數(shù)學素養(yǎng)就會自然形成． 自由在于根據(jù)對自然界的必然性的認識來支配我們自己和外部自然界，因此它必然是歷史發(fā)展的產(chǎn)物. 對高考數(shù)學解題規(guī)律掌握后，我們就獲得了數(shù)學解題的自由，這時就給我們一種海闊憑魚躍，天高任鳥飛的感覺． 對解高考數(shù)學題來說，我們也可從不同的角度來理解高考數(shù)學題，用不同的方法來分析高考數(shù)學題．

例5 （2004全國Ⅰ）從1，2，3，4，5中，隨機抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為（）

解析本題是排列組合和概率問題． 但它既不用分類計數(shù)與分步計數(shù)原理，又不用排列與組合的知識，而是回到最原始、最自然的直排方法，達到解決問題的目的． 按首位為1，2，3，4，5分類，如圖4所示滿足條件的三位數(shù)分別有3，4，5，4，3，共有19種． 所以所求概率為．

例6 （2007重慶）設(shè)b是1-a和1+a的等比中項，則a+3b的最大值為（）

A． 1B． 2C． 3D． 4

解析 本題的背景是等比數(shù)列，但本題可從多角度理解和分析其解題思路. 只要你用能想到的知識，就都有可能成功. 思考解答本題可使思維自由馳騁，思想得到大解放，掌握不同知識的人都有機會獲得成功． 由題意得a2+3b2=1，本題可從三角知識出發(fā)思考；從構(gòu)造一元二次方程，利用判別式思考；從平面向量知識思考；從不等式一章中練習題結(jié)論思考（柯西不等式）（a1b1+a2b2）2≤（a+a）（b+b）；從導(dǎo)數(shù)的知識思考． 選B.

2.6用數(shù)學的含蓄美、蒙朧美發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學題的隱含條件

與文學藝術(shù)一樣，數(shù)學也有含蓄美、蒙朧美，這是由數(shù)學的抽象性決定的. 數(shù)學概念、公式和定理都有其深刻的幾何意義、數(shù)的意義、生活意義、物理意義等． 在高考數(shù)學中，我們要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學背后的深層含義，挖掘隱藏在概念、公式和定理中的本質(zhì)．

例7（2006重慶）已知函數(shù)f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b，c∈R為常數(shù).

（1）若b2>4（c－1），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若b2≤4（c－1）且＝4，試證:－6≤b≤2.

解析（1）觀察題目所給出的條件，發(fā)現(xiàn)條件形式與一元二次判別式相近，聯(lián)想一元二次方程根的判別式，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得解．

（2）由于所給出條件是極限形式，而導(dǎo)數(shù)定義就是極限給出的，經(jīng)過聯(lián)想和變形發(fā)現(xiàn)這一條件隱含著的是導(dǎo)數(shù)的知識． ==f ′（0）=4，即f ′（0）=b+c=4，結(jié)合b2≤4（c－1）得b2+4b－12≤0，解得－6≤b≤2． 在高考考試中，要十分重視一些題中的深層含義，挖掘隱含條件．

2.7用數(shù)學的嚴謹美、理性美完備高考數(shù)學解題過程

嚴謹是數(shù)學的一種獨特之美，利用數(shù)學的嚴謹美、理性美，可以完善解題過程．

例8 （1994全國）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），則cotθ的值為．

解析sinθ+cosθ=#8658;1+2sinθcosθ=#8658;sinθcosθ=－#8658;=－，所以

=－#8658;cotθ=－或cotθ=－． 本解答初看沒什么問題，但仔細分析其答案是錯誤的，錯誤原因就是過程不嚴謹，沒有挖掘題中隱含條件，合理取舍． 由sinθ+cosθ=，sinθcosθ=－知sinθ，cosθ是方程x2－x－=0的兩根，解方程得x1=，x2=－，因為0<θ<π，所以sinθ=，cosθ=－． 所以cotθ=－．

2.8用數(shù)學的對稱美、非對稱美理解高考數(shù)學試題疑難

對稱是數(shù)學美的重要特征． 在現(xiàn)實世界中處處有對稱性，既有軸對稱、中心對稱和鏡像對稱的空間對稱，又有周期律的時間對稱，還有與時空無關(guān)的更為復(fù)雜的對稱，如宮殿、廟宇、教堂、紀念塔、城門、劇院常是鏡像對稱，24小時的晝夜循環(huán)在時間上顯現(xiàn)出具有周期性的平移對稱，函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱． 我們?nèi)绻谒伎几呖碱}時利用這些對稱性，常能收到簡單、奇異的解題效果．

例9 （2005重慶）連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是． （填寫所有正確選項的序號）

①菱形 ②有三條邊相等的四邊形

③梯形 ④平行四邊形

⑤有一組對角相等的四邊形

[D][B][C][A]

圖5

解析圓錐曲線是最優(yōu)美的曲線，它們對稱、統(tǒng)一、簡明，給人無窮的想象空間． 因菱形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱，而拋物線是軸對稱，所以選項①④不可作，選項②③易作，在拋物線上任找兩點A，B作線段AB的中垂線交拋物線于C，D兩點，則∠DAC=∠DBC，所以⑤可作．

2.9用數(shù)學的秩序美、順序美找尋解高考數(shù)學的有效方法

自然數(shù)的順序性是數(shù)學秩序美的基礎(chǔ)，因為數(shù)學中一切序的規(guī)律都可以同自然數(shù)的子集建立一一對應(yīng)的關(guān)系． 自然數(shù)序列何其簡單，但在簡單中卻蘊含著征服人心的力量和神韻，自然數(shù)的序關(guān)系使自然數(shù)具有可比性、無限性、后繼性；奇數(shù)與偶數(shù)的交替變化賦予它鮮明的節(jié)奏；各種進制表示使它顯示出風格各異的周期性．秩序美是眾多數(shù)學方法的靈魂． 邏輯推理方法及公理推理方法，其本質(zhì)就是順序關(guān)系． 順序性使遞推法、迭代法、數(shù)學歸納法等數(shù)學方法在數(shù)學解題中顯得優(yōu)美、簡潔而富有成效．

例10（2007四川）已知函數(shù)f（x）=x2－4，設(shè)曲線y=f（x）在點（xn，f（x））處的切線與x軸的交點為（xn，0）（n∈N*），其中x1為正實數(shù).

（1）用xn表示xn+1；（2）求證：對一切正整數(shù)n，xn+1≤xn的充要條件是x1≥2；（3）若x1=4，求數(shù)列｛xn｝的通項公式.

解析本題是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列和不等式的綜合題． 字數(shù)寥寥，題意敘述簡潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學簡約之美． （1）容易得xn+1=+；（2）本問由于涉及順序問題，結(jié)合（1）的結(jié)論，可用數(shù)學歸納法和基本不等式證；（3）這一問沒有現(xiàn)成的公式或方法可用，只有對（1）這一遞推式進行探究，摸著石頭過河． 但我們可以一步一步由未知向已知轉(zhuǎn)化．

xn+1=+==－2#8658;xn+1+2=.

同理xn+1－2=，所以=

2，令an=#8658;an+1=a，由（2）an>0，

lgan+1=2lgan#8658;=2. 從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題. 給人賞心悅目的感覺． 求比， 取對數(shù)都是不容易想到的方法，體現(xiàn)數(shù)學解題的奇異之美．