高考集合復習應注意的問題

【摘要】集合是高中數學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用。

【關鍵詞】高考；集合復習；問題

【中圖號】G632【文獻標示碼】A【文章編號】1005-1074(2008)11-0301-01

本章內容概念性強，考題大都為容易的選擇題，因此復習中應注意：

1注意集合元素的“三性”

集合元素的“三性”指確定性、互異性、無序性，它們是集合最基本的特征。要注意弄清它們的含義，才能在解題時正確應用。

例1：已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，且M=N，求q的值。

分析：集合M=N，說明M、N中元素相同，但順序可以不同，故要分兩種情況討論。

解：由集合元素的互異性及M=N，得：

（1）a+d=aq

a+2d=aq2或（2）a+d=aq2

a+2d=aq

由（1）消去d，得a(q-1)2=0①

由（2）消去d，得a(2q2-q-1)=0②

由N中元素的互異性知a≠0故①式不成立，由②式得q=-12。

2要注意空集的兩重性

空集φ具有元素的性質，也有集合的屬性，所以空集有兩重性．如果從“空集是任何集合的子集”這一角度考慮，可以得出{}；如果再從另一角度分析，是集合{}中的一個元素，又可得出∈{}；如果將{}看成非空集合，則又可得出{}．由此可知，元素與集合是相輔相成的兩個概念，在一定條件下可以互相轉化．這一點在解題時必須注意，否則會造成概念上的錯誤。

例2：設A∩B=，M=｛m|m為A的子集｝，N=｛n|n為B的子集｝，那么（）。

(A)、M∩N=(B)、M∩N={}(C)、M∩N=A∩B(D)、M∩NA∩B

錯解：因為A∩B=，所以集合M、N中不可能有公共元素，因而M∩N=，故選(A)。

分析：由于A、B的子集中均有，即A，B所以M∩N={}，注意{}，不是空集，而是含有一個空集為元素的集合．所以正確答案應為(B)．

3要注意空集的存在性

對于空集合，在解題時必須注意它的三個性質：（1）對任意集合 A，皆有A∩=;（2）對任意集合A;皆有A∪=A;（3）空集是任何集合的子集，即A，解題時若忽視的存在性，就會造成解題結果的殘缺不全．

例3：已知集合A＝{x|x2+(a+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+=，求實數a的取值范圍。

錯解：由A∩R+=知A中的元素為非正數，即一元二次方程x2+(a+2)x+1=0只有非正數解。

△=(a＋2)2-4≥0

x1+x2=-(a+2)≤0，解得a≥0

x1x2=1＞0

分析：錯解只注意到A為非空集合，丟掉了A=時的情況，當A為空集時仍滿足A∩R+=．

正解：(1)當A=時，由前面錯解得a≥0．

(2)當A=時，即一元二次方程x2+(a+2)x+1=0中的△=(a＋2)2-4＜0，由此解得-4＜a＜0

綜合(1)、(2)得a的取值范圍是a＞-4

4要注意分清集合代表元素

根據元素的確定性，集合中的元素都有確定的含義．對于用描述法給定的集合，要弄清楚它的代表元素有何屬性(如表示數集，點集等)，這是集合問題中解題的關鍵．

例4設集合A={y|y =x2+2x+1，x∈R }，B={y|y=x2－2x，x∈R}，求A∩B。

錯解：解方程組y=x2+2x+1

y=x2-2xx=-14

y=916A∩B={(-14，916)}．

分析：上述解法錯把A、B看成平面點集．事實上，集合A、B均為一元二次函數的值域，即有A={y|y≥0}，B={y|y≥－1}，所以A∩B={y|y≥0}．

5注意求補集的前提——全集

在求補集時，不能忽略全集，因為同一個集合在不同全集中，補集的不相同的.

例5：全集U是函數y=X-7的定義域，A＝｛x|x≥10}，求CUA

錯解：CUA＝｛x|x＜10｝

剖析：錯解將全集默認為實數集R，顯然不對，其實U＝｛x|x≥7}

故：CUA＝｛x|7≤x＜10＝

6注意數學思想方法的滲透

集合問題多與函數、方程、不等式、解析幾何有關，其中蘊藏著豐富的數學思想方法，需要我們挖掘和掌握，注意知識的聯系。

例6：設集合A＝{(x，y)|y=2x-1，x∈N*}，B={(x，y)|y=ax，x∈N*}，問是否存在非零整數a，使A∩B≠？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由。

分析：A為直線y=2x-1上在y軸右側的整點，B為拋物線y＝ax2-ax+a上在y軸右側的整點，由A∩B≠，即這兩條曲線在y軸右側由公共整點。

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