等式和不等式的證明常用技巧

【摘要】總結(jié)了幾種高等數(shù)學中常用的證明等式和不等式的方法。

【關(guān)鍵詞】換元，變易，分段，構(gòu)造

【中圖分類號】D80【文獻標識碼】B【文章編號】1005-1074(2008)08-0302-02

證明類題目也是數(shù)學中一個重要的題型，所以掌握好證明題的解題方法是十分必要的。本文筆者根據(jù)多年的教學經(jīng)驗總結(jié)了幾種方法。

1換元證題法

通過適當?shù)淖兞看鷵Q，應用有關(guān)性質(zhì)和運算法則，推算出結(jié)果。

2變易證題法

由不容易證明的命題變形成較容易證明的等價性命題。

分析：若利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，即令f(x)=sinxx-3cosx則f'(x)，f\"(x)的符號都難以確定，故采用變易證題法，由于x∈(0，π2)，cosx>0，故可將原不等式變形成較容易證明的等價不等式sinx3cos

3分段討論法

有時要證某函數(shù)（或者某式子）在某區(qū)間上具有某種性質(zhì)（或在某區(qū)間內(nèi)等于某值），可將該區(qū)間分段，應用所給條件，推出分段后各個區(qū)間都具有該性質(zhì)（或數(shù)值總和等于某值）。

例3 設f(x)在［0，+∞)上連續(xù)，且limx→+∞f(x)=A 證明：limx→+∞1T∫π0f(x)dx=A

分析：因為f(x)連續(xù)，所以考慮積分中值定理，得1T∫π0f(x)dx=1Tf(ξ)·T=f(ξ)，(0≤ξ≤T）。若有ξ→+∞則有limx→+∞f(ξ)=A于是可以得證。但是，當T→+∞時由于0≤ξ≤T不一定有ξ→+∞為此將［0，T］分成兩部分［0，T］及［T，T］進行討論。

證明：不妨設T＞0，因為1T∫T0f(x)dx=1T∫T0f(x)dx+1T∫TTf(x)dx。由f(x)在［0，+∞)上連續(xù)，且limx→+∞f(x)=A，容易證得設f(x)在［0，+∞)上有界，即1T∫T0f(x)≤1T∫T0f(x)dx≤M·1T·T=M·1T→0，（T→+∞）

而1T∫TTf(x)dx=1Tf(ξ)·（T-T）=f(ξ)(1-1T)，T≤ξ≤T

因為當T→+∞時，有ξ→+∞

所以1T∫TTf(x)dx=f(ξ)(1-1T)→A，（T→+∞）

limx→+∞1T∫π0f(x)dx=A

4構(gòu)造鋪助函數(shù)法

一般地，若所證命題與需應用的已知定理或已證命題之間還缺少某個條件，可構(gòu)造一個具備所缺條件且和所證結(jié)論相關(guān)聯(lián)的輔助函數(shù)。構(gòu)造輔助函數(shù)是一種重要的技巧，一般，應分析命題條件和結(jié)論，正確選擇所需要的定理，然后將欲證的等式進行恒等變形，將其視為對輔助函數(shù)應用定理后的結(jié)果，并作為構(gòu)造輔助函數(shù)的依據(jù)。

例4 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導（0

分析：由于待求的有ξ，η兩個，故需要應用兩次中值定理，將欲證等式變形為：f'(η)η=2a+bf'(ξ) 即

f'(η)η=（b-a）f'(ξ)b2-a22(1)

由等式左端可知，應先用柯西中值定理，但缺少一個函數(shù)，因此需要構(gòu)造一個輔助函數(shù)，設為F（x），則有

f'(η)F'(η)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)，η∈(a，b)

對于右端的式子由拉格朗日公式可得：

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，ξ∈(a，b)

于是有：f'(η)F'(η)=f'(ξ)(b-a)F(b)-F(a)，(2)

比較（1），（2）知，所構(gòu)造的輔助函授數(shù)需具有下述性質(zhì)：

F'(η)=η，F(xiàn)(b)=b2-a22，F(xiàn)(a)=0

由積分性質(zhì)易知，此函數(shù)應為F（x）=∫xatdt，F(xiàn)(x)顯然在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且F'(x)=x≠0，F(xiàn)（a）=0，F(xiàn)(b)=∫batdt=12(b2-a2)

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=∫xatdt x∈［a，b］顯然F（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導。

所以F（x）f(x)在［a，b］上滿足柯西中值定理的條件，故有f'(η)F'(η)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)，η∈(a，b)

又因為F'(x)=x≠0，F(xiàn)（a）=0，F(xiàn)(b)=∫batdt=12(b2-a2)

所以f'(η)η=f(b)-f(a)12（b2-a2)

再對f(x)在［a，b］上應用拉格朗日中值定理，有

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，ξ∈(a，b)

由此可得：f'(ξ)=a+b2ηf'(η)，ξ，η∈(a，b)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文