資本市場中分形市場分析的理論探討

摘要：以有效市場假說為基礎的現代資本市場理論被越來越多的實踐證明與現實情況不符，而分形理論考慮到資本市場的復雜性和EMH的缺陷，以非線性范式為分析基礎，解釋了有效市場理論無法解釋的許多市場現象，為我們更為深入地分析資本市場提供了新的思路和方法。

關鍵詞：有效市場；非線性；分形市場；R/S分析

一、引言

作為現代金融理論基石的有效市場假說(EMH)，一直是分析資本市場的理論前提。EMH理論認為，資本市場的當前價格充分反映了所有的公開信息，投資者是理性的，以線性的方式對信息做出反應，且資產收益率則是相互獨立的、呈正態分布的隨機變量，且其波動具有布朗運動的特征。然而，近年來國內外許多有關資本市場的實證研究發現，EMH理論不能解釋資本市場的許多現實情況，其根本原因是現實資本市場是一個復雜的系統，并不是以EMH理論為基礎的線性范式對信息做出反映，而是非線性反應，而且價格收益率并非相互獨立，其變化并不遵循隨機游走模式，概率分布近也非正態分布，而是一種有偏分布，呈現出尖峰、厚尾、有偏等特征。作為研究復雜系統的分形理論，可以較為準確地描述資本市場的這種特性。本文對資本市場的分形市場分析進行理論探討。

二、EMH理論

有效市場假說(EMH)是由美國的芝加哥大學的法瑪博士提出的，他于1970年5月在《金融月刊》上發表了《效率資本市場：對理論實證工作的評價》，標志著EMH的確立。該理論前提是，資本市場上的有關信息對每個投資者都是均等的，而且每個投資者都能根據所掌握的信息及時進行理性的投資決策，任何投資者都不能獲得超額收益，則資本市場是有效的。因此，有效市場假說理論又稱為隨機游走理論。根據所掌握的信息不同，有效市場假說可分為：(1)弱式有效市場假說，價格包含所有的歷史信息，在此情況下，技術分析無效；(2)半強式有效市場假說，價格不僅包含歷史價格的信息，還包含了所有的公開信息，投資者無法利用基本分析來獲得超額利潤；(3)強式有效市場假說，價格不僅包含了所有的公開信息，還包含了所有可能獲得的有關信息，在此情況下，任何信息包括‘內幕信息’對專業分析都毫無用處。

EMH理論是現代金融理論的基石，Harry Markowitz的現代證券組合理論、William Sharp的資本資產定價模型、Stephen Ross的套利定價理論、Black-Scholes的期權定價模型等均在EMH基礎上發展起來或與之密切相關，這些理論模型建立在如下基礎上：(1)理性投資者。投資者追求均值-方差有效性，需要在給定風險水平上期望收益率最高的資產，方差是有限的，能有效度量投資風險。(2)價格反映了所有公開信息，價格的變化相互獨立，對未來價格變化是不可預測的，符合馬爾科夫過程。(3)價格收益率遵循隨機游走，概率分布近似于正態或對數正態，其波動具有布朗運動的特征。雖然EMH在資本市場中得到廣泛的應用，并得到一定的支持，但是，隨著理論的發展和許多學者的實證研究，EMH理論受到了巨大的挑戰。在現實中，資本市場作為復雜的相互依賴的系統，理性投資者模型可能并非切合實際情況，人們并不按理性預期理論的方式來行事，投資者也許并不知道如何理解已知的信息，而是結合過去的信息來決定現在的行動，收益率也可能不遵循隨機游走，概率分布不再近似為正態分布或對數正態分布。其中在早期對正態分布提出了質疑的例子很多，如1964年Osborne在繪制股票收益率的概率密度函數時，發現概率密度函數具有厚尾的特征，即其尾部比正態分布下的形狀要肥胖。Fama(1965)在對股票日收益率作了實證研究后發現，收益率分布呈偏態，即概率密度曲線的左尾比右尾部有更多的觀測值，故認為非正態分布實際上能更好地描述股票收益率的變化。因此，在資本市場中存在著許多無法用EMH理論解釋的異象情況下，分形市場假說理論進入了資本市場。

三、分形市場分析

(一)分形市場假說(Fractal Market Hypothesis，FMH)

分形市場假說是埃德加.E.彼得斯(Edgar E.Peter1991，1994)提出的，該假說是在有效市場假說解釋現實的資本市場價格行為走勢出現一定的難于調和的爭議情況下發展起來的一種新假說。FMH強調流通性和投資期限結構對投資者市場行為的影響，目的在于給出更加符合實際情況的描述投資者行為和資本市場價格運動的模型。FMH認為市場存在著為交易提供了穩定的、流通的環境，投資者希望買或賣個好價格，但未必是經濟意義上的‘公平’價格，當市場有許多具有不同投資期限的投資者參與時，保證了市場的流動性，使得市場處于穩定狀態。因為不同投資期限的投資者承擔相同的風險水平，所以，不同期限尺度上的收益率具有類似的頻率分布，即時間尺度上的不變性或稱為自相似。當所有投資者的投資期限相同時，市場將出現價格序列變化的不連續性，在高斯假定(即正態性假定)的情況下，巨大的變化是由許多細小的變化累加而成的，然而，在市場出現恐慌時，價格經常出現巨大的跳躍，這種不連續性，導致巨大的變化和收益率分布的肥尾現象。

(二)R/S分析(the range over standard deviation，重標極差分析)

R/S分析是英國著名的水文學家赫斯特(H.E.Hurst，1990-1978)提出的，它為分形市場假說提供了有力的分析工具。在R/S分析中，Hurst指數(H)可用來估計時間序列的分形維以及持久性或反持久性的程度，其滿足下列關系式：

R/S=C*NH(1)

其中，R是時間序列的極差，S是時間序列的標準差，R/S是重標極差，N是觀察次數，C是常數，H是Hurst指數。

Hurst指數分為三種類型：

(1)H=0.5時，時間序列是一個隨機游走，序列中不同時間的值是隨機的和不相關的，即現在不會影響將來。

(2)0≤H≤1時，這是一種反持久性的時間序列，常被稱作“均值回復”。如果一個序列以前是向上走的，那么它在下一個時期多半是向下走，反之亦然。這種反持久性的強度依賴于H離零有多近，越接近于零，這種時間序列就具有比隨機序列更強的突變性或易變性。

(3)0.5≤H≤1表明一個持久或趨勢增強的序列，即前一個時期序列是向上(下)走的，那下一個時期將繼續是向上(下)的。趨勢增強行為的強度或持久性隨H接近于1而增加。

為了更直觀地反映現在對于未來的影響程度，Mandelbrot引入相關性度量指標C：

CM=22H-1-1(2)

顯然，隨機游走序列對應的CM值為0，不相關；反持久性序列對應的CM值取值范圍是0≤H≤0.5，負相關；持久性序列對應的CM值取值范圍是0.5

(三)資本市場的分形分布

分形分布又稱Pareto或Pareto-Levy分布。Pareto在19世紀末在對收入分布的研究中發現，除了大約3%的富人收入的分布可以用對數正態分布來很好地描述外，其余大部分人的收入分布服從逆冪律，在圖形上會導致一個較胖的尾部。Mandelbrot(1964)指出資本市場收益率服從Pareto分布。Pareto分布在均值處有高峰，也有胖尾的特征。我們知道，正態分布特征函數的對數是

Logf(t)=iut-(σ²/2)t²(3)

式中u為均值，σ²為方差。要表達高峰和胖尾這種Pareto分布的特征形狀，Levy推廣了概率分布的特征函數，Pareto分布特征函數的對數是

Logf(t)=iδt-γ|t|a(1+iβt|t|tana2π(4)

其中，δ是均值的位置參數，γ是可以調整的標度參數，比如在日數據與周數據之間的調整。β是偏斜度的度量，-1≤β<1，β=0時，分布是對稱的，β>0時分布是右胖尾或向右偏斜，偏斜程度以β=1時最大，β<0時，情形恰好相反。α既度量分布的尖峰程度也度量分布的胖尾程度，0≤α≤2。當α=2時，分布等價于正態分布，實際上，令α=2，β=0，γ=δ=1，就得到等式(3)，說明正態分布是分形分布的特例。當1≤α≤2時，方差變得無定義或無限，這是一些經濟學家不能接受的，但無限方差是可能的且多半是典型的。當0<α<1時，穩定的均值不存在，但α落在該區域很少見，這時的α對應于分形布朗運動，其特點是長期相關性和統計自相似性。α是時間序列概率空間的分形維，并且α=1/H(H是Hurst指數)，它度量的是概率密度函數尾部的肥胖性，但若是指時間序列在時間軌跡的分形維D，則D=2-H，它度量的是時間序列的參差不齊。

分形分布在時間方面有足夠的自相似性。比如每日價格的分布有一個均值m及α=a，那么5天收益率的分布就有均值5m，而仍舊有α=a。一旦作了時間標度的調整，序列的概率分布仍然保持同樣的狀態。這種序列稱為是標度不變的。

Mandelbrot指出分形分布有兩個重要特性。一是分形分布傾向于有趨勢和循環。實際上經濟發展總有周期性，二是無限方差特征群，這些系統容易突然和激烈的逆轉。正態分布認為定價是連續的，而分形分布認為在的價格變化可以是不連續和突然的。不斷有證據表明股票市場的收益率分布是非正態的，它總是在均值處有更高的峰和更胖的尾部，很像一個典型的Pareto分布。

四、小結

從以上分析可知，有效市場是分形市場的一種特殊狀態(H=0.5或α=2)，雖然EMH理論是資本市場理論的基石，在過去得到了廣泛的應用，但是由于它嚴格的假設條件使它不能準確地描述市場的現實情況。而用分形理論研究資本市場解決了有效市場理論中許多前提假設的局限性和缺陷，考慮了投資者的非理性預期以及市場對于信息反應的非線性關系，因此用分形市場理論對資本市場特性的研究更為廣泛和深入。

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(作者單位：石家莊職業技術學院)

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