解析幾何中點的各種對稱

【摘要】 本文就新課改形勢下新舊知識的“無縫連接”這一話題，從課堂教學的實踐中總結出了解析幾何中的點的各種對稱情況，并給出了詳盡的證明和具體用途。

【關鍵詞】 新課改；解析幾何；點的對稱

【中圖號】 G633.65 【文獻標示碼】 A 【文章編號】 1005-1074(2008)12-0216-01

隨著課程改革的不斷深入，課標中三維目標的要求也在逐步的全面體現。當我們重新審視中學數學的知識體系時，不難發現新課改加強了知識之間的溝通與聯系，強調了能力及應用。所以新舊知識的“無縫連接”顯得尤為重要。值得我們去思考。現就針對教學中的所見所感做以總結，以供大家討論。解析幾何中點的各種對稱，課本中只講了最簡單的幾種。但各種輔導材料及近年高考題中卻有層出不窮的變化。為此，我們應當給以一個總結性的敘述，才能應付。并且由點的對稱進而討論曲線的對稱。

1 中心對稱

這種情況比較簡單:①點M0（x0，y0）和點M1（x1，y1）關于原點O（0，0）成中心對稱的條件是：x1=—x0，y1=-y0。簡言之即M0（x0，y0）的對稱點為M1（-x0，-y0）;②點M0（x0，y0）和點M1（x1，y1）關于點P（a，b）成中心對稱，則易知x0+x12=a，y0+y12=b.即：x1=2a-x0，y1=2b-y0。就是說M0（x0，y0）關于P（a，b）的對稱點為M1(2a-x0，2b-y0)。若令a=b=0，即成為第一種情況，它不用專門另行證明。

2 軸對稱

這個情況較多，下面依次敘述：①點M0（x0，y0）關于x軸（直線y=0）的對稱點為M1（x0，-y0）；②點M0（x0，y0）關于y軸（直線x=0）的對稱點為M1（-x0，y0）；③點M0（x0，y0）關于直線y=x的對稱點為M1（y0，x0）；④點M0（x0，y0）關于直線y=-x的對稱點為M1（-y0，-x0）；⑤點M0（x0，y0）關于直線y=x+b的對稱點為M1（y0-b，x0+b）；⑥點M0（x0，y0）關于直線y=-x+b的對稱點為M1（-y0+b，-x0+b）；⑦點M0（x0，y0）關于直線Ax+By+C=0的對稱點為M1{x0—2AA2+B2(Ax0+By0+C)，y0—2BA2+B2(Ax0+By0+C)}；以下我們先把⑦證明了，而后把上面各點均作為⑦的特例而推出。

設M0（x0，y0）和M1（x1，y1）關于直線Ax+By+C=0對稱，則必有直線M0M1與直線Ax+By+C=0垂直，且線段M0M1的中點（x0+x12a，y0+y12）在對稱軸Ax+By+C=0上。即y1-y0x1-x0（-AB=-1及Ax0+x12+B+C=0。簡兩式可得：Bx1—Ay1=Bx0—Ay0Ax1+By1=—Ax0—By0—2C

把x0、y0看作已知數，而把x1、y1解出：①×B+②×A：（A²+B²）x1=B²x0—ABy0—A²x0—ABy0—2AC

=（A²+B²）x0—2A²x0—2ABy0—2AC，

∴x1=x0—2AA2+B2(Ax0+By0+C)

②×B—①×A：

（A²+B²）y1=—ABx0—B²y0—2BC—ABy0+A²y0

=（A²+B²）y0—2ABx0—2B²y0—2BC，

∴y1=y0—2BA2+B2(Ax0+By0+C)；

即M1{x0—2AA2+B2(Ax0+By0+C)，y0—2BA2+B2(Ax0+By0+C)}。應用此式于5，則y=x+b，即x-y+b=0，

A=-1，B=-1，C=b，代入得：

x1=x0—2112+(-1)2(x0-y0+b)=x0-x0+y0-b=y0-b

y1=y0—2(-1)12+(-1)2(x0-y0+b)=y0+x0-y0+b=x0+b，

∴M1（y0-b，x0+b）。

同理對于⑥，則y=-x+b可寫為 x+y-b=0，即 A=B=1，C=-B，代入得：

x1=x0—2112+12(x0+y0-b)=x0-x0-y0+b=-y0+b

y1=y0—2112+12(x0+y0-b)=y0-x0-y0+b=-x0+b，

∴M1（-y0+b，-x0+b）。

那么③的y=x相當于⑤中的b=0，④的y=-x，相當于⑥中的b=0，于是立即可得出。至于①與②則已見與教材，不用證。當然也可以在⑦中令A=C=0，B=1和A=1，B=C=0來求出。

這些規律，特別是第⑦點，似乎過于繁瑣，一般參考書上均不提。碰到具體的題目，臨時用M0M1與對稱軸垂直及線段M0M1的中點在對稱軸上，建立二元一次方程組來解。鑒于這樣的題目越出越多，而學生又出在善于機械記憶的年齡段，因此不如一次性將公式教給學生，只要老師在課堂上多重復幾次，學生們是能夠記住的。而且一旦理解了它，就會一生受用不盡了。

總之，學如逆水行舟，不進則退。只有當隨時隨地思考，隨時隨地發現，隨時隨地實踐，隨時隨地體驗，隨時隨地領悟，隨時隨地反省，方能領略其中的美麗風景。

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