分數應用題的結構與教法探微

分數應用題包括“求一個數的幾分之幾是多少”“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”和“求一個數是另一個數的幾分之幾”三類問題，這些內容歷來是小學數學教學中的重點與難點。本文試結合個人長期教學教研工作中的體會，主要對前兩類分數應用題的教學談一些看法。

一、從整體上認識分數應用題的結構特點和數量關系

分數乘、除法應用題的數量關系，集中反映在含有分率的那個條件中。分率所表示的意義一般有兩種，一是表示兩個數量之間的關系。其表述形式有：(1)一個數是另一個數的幾分之幾，如“去年產值是今年的5/6”；(2)一個數比另一個數多(它的)幾分之幾，如“今年產值比去年增長1/5”；(3)一個數比另一個數少(它的)幾分之幾，如“男生人數比女生少1/8”。二是表示部分量與總量之間的關系。一般有兩種情況：(1)把總量分為兩個部分，如“修一條公路，已修全長的2/5”；(2)把總量分為三個部分，如“一塊地，用它的1/4種油菜，2/5種棉花，其余的種蔬菜”。

以上的數量關系，都可以根據一個數乘以分數的意義用乘法式子表示出來。例如“修一條公路，已修全長的2/5”，可以寫成如下的一些數量關系式：

全長×2/5=已修的長度

全長×(1-2/5)=剩下的長度

全長×(1-2/5-2/5)=剩下的比已修的多的長度

只有從整體上把握分數應用題的結構特點和數量關系，教學中才能胸懷全局、瞻前顧后，正確地理解與處理局部教材，有針對性地改進教法。

二、教學中要解決好的幾個問題

(一)使學生正確理解分數乘、除法的意義

分數乘、除法的意義是解答分數應用題的依據，而一個數乘以分數的意義又是最基本的。因為無論是分數乘法應用題還是分數除法應用題，都可以根據一個數乘以分數的意義列出算式或方程。如果是分數除法應用題，在列出方程后，學生就會根據除法的意義將“x×n/m=a”轉變為“a×m/n=x”，熟練以后，自然會知道直接用除法解。教學中要多舉實例幫助學生正確理解一個數乘以分數的意義，并在實際運用中逐步加深理解。

(二)抓好基礎訓練

教學中，可以結合教材內容組織下列訓練。

1.看線段圖敘述題意，列出算式或方程。

題意：一個數的3/4是45。

列式：x×3/4=45或45÷3/4。

2.找單位“1”畫線段圖。

例 在下題中表示單位“1”的數量下面畫上線，再畫出線段圖。

紅花朵數是黃花朵數的3/4。

兩個數量之間的關系，一般用兩條線段表示。

3.改變題目條件的敘述方式。

例 不改變題意，把下題中打“__”的條件換一種說法。

一個學校有三好學生168人，占全校學生人數的1/5，全校有學生多少人?

要求學生把畫有“ ”的條件換說成：全校學生人數的1/5是168人。

4.將間接對應關系轉變為直接對應關系。

例 在下面各圖的括號里填寫適當的分數。

(2)在下面各題的括號里填寫算式。

①甲倉存糧數比乙倉多2/9，甲倉存糧數是乙倉的()。

②小明的身高比他爸爸矮1/6，小明的身高是他爸爸的()。

5.找“量”和“率”的對應關系。

例 在括號里填寫與分率相對應的量：如果二月份燒煤量是元月的5/6，那么，“1”表示()，“1/6”表示()，“1-5/6”表示()，“1+5/6”表示()。

(2)在括號里填寫與有關量相對應的分率：如果綿羊只數比山羊多1/4，那么，山羊只數為()，綿羊只數相當于()，綿羊比山羊多的只數相當于()，兩種羊的只數相當于()。

6.找數量間的相等關系。

例 根據一個數乘以分數的意義，寫出題中數量間的相等關系。

前年產值比去年少1/8。

去年產值×1/8=前年比去年少的產值。

去年產值×(1-1/8)=前年的產值。

去年產值×[1+(1-1/8)]=兩年的產值。

上面這些基礎訓練可以幫助學生深刻理解分數應用題的結構特點和數量關系，形成解題思路。

(三)使學生掌握解題思路

現行教材對稍復雜的分數乘、除法應用題的分析方法基本上是綜合法，即在確定單位“1”后，先綜合出題中另一個數量和“1”的對應分率，再將此分率與已知數量綜合，求得問題的解答。這種思路有規律可循，教師好教，學生容易掌握。但是教學實踐證明，如果過分強化這種思路，把它模式化，就會產生消極的影響，學生碰到條件有變化的題目往往做錯。

因此，分數乘、除法應用題的解題思路教學也應和整、小數一般應用題那樣，注意分析法與綜合法的協同運用。分析是為了綜合，而綜合必須根據分析，不根據分析的綜合往往帶有盲目性。對稍復雜的分數應用題，要注意引導學生在全面理解題意的基礎上，先對問題加以分析后，再將有關條件進行綜合。

(四)組織有效的練習

有效的練習是使學生掌握知識，培養能力和開發智力的重要途徑。如下面幾種練習形式：

1.溝通練習。

(1)縱向溝通一步與多步應用題的聯系。

例 拖拉機廠八月份計劃生產拖拉機225臺，上旬完成了全月計劃的1/3，中旬完成了全月計劃的2/5，______?(補充不同的問題，并列出算式)

如果將上題改為：“拖拉機廠八月份上旬完成了全月計劃的1/3，中旬完成了全月計劃的1/3，中旬完成了全月計劃的2/5，______。全月計劃生產拖拉機多少臺?”讓學生補充不同的條件，又可以列出幾道不同的除法算式。

(2)橫向溝通乘、除法應用題的聯系。

比如可以先讓學生解一道求一個數是另一個數的幾分之幾的應用題，通過改編得到下面一組題：

這樣進行縱橫溝通，有利于學生深刻理解分數應用題的數量關系，形成良好的認知結構。

2.對比練習。

(1)將已知數量意義不同的兩類題進行對比。

①楊樹的棵數是松樹的3/4，楊樹有48棵，松樹有多少棵?

②楊樹的棵數是松樹的3/4，楊樹比松樹少48棵，松樹有多少棵?

(2)將已知分率意義不同的兩類題進行對比。

①紅糖比白糖多24千克，白糖重量比紅糖少1/5，白糖有多少千克?

②紅糖比白糖多24千克，白糖重量是紅糖的1/5，白糖有多少千克?

(3)將順向問題和逆向問題進行對比。

①男生有24人，女生比男生的3/4少3人，女生有多少人?

②男生有24人，男生比女生的3/4少3人，女生有多少人?

通過對比練習，可以使學生分清兩類易混淆題的區別，培養學生認真審題的習慣。

3.綜合練習。

例 給下面的題目補充不同的條件，列出算式。

修一條公路，已修2/5，______。還剩多少千米?(數據：全長100千米，已修40千米，已修的比剩下的少20千米，離中點還有10千米)

如果將上題的問題改變成“全長多少千米”“已修多少千米”“已修的比剩下的少多少千米”“離中點還有多少千米”等，按上面的組合方式，又可以各補充四個不同的條件列出算式，這樣就由一道基本題演變成了20道題。學生通過練習，可以溝通一步與多步、乘法和除法應用題之間的聯系，深刻理解題目的數量關系，開拓思路，提高分析解答分數應用題的能力。