巧用比例知識妙解數(shù)學(xué)難題

比和比例是小學(xué)六年級一個重要的知識，包括比的意義與基本性質(zhì)、正比例和反比例的意義等內(nèi)容。新教材對這章知識的編排，更多地關(guān)注與生活的聯(lián)系，并且教學(xué)目標明確提出：“聯(lián)系平面圖形的放大和縮小，理解比例的意義與基本性質(zhì)，能根據(jù)比例的性質(zhì)解比例，會列比例式解答相關(guān)的簡單實際問題。”在學(xué)習中，如果能夠熟練掌握比例的意義、性質(zhì)并巧妙運用，就可以很簡便地解決許多數(shù)學(xué)難題。

一、根據(jù)比的意義，找出公式之間固定比

例1 一個圓柱體側(cè)面積是314平方厘米，體積是942平方厘米，它的底面積是多少平方厘米?

分析：要求圓柱的底面積，必須先知道圓柱的底面半徑，但題目并沒有給出相關(guān)數(shù)據(jù)，只知道側(cè)面積是314平方厘米、體積是942平方厘米，解題必須根據(jù)這兩個條件尋找突破口，求出圓柱的底面半徑。

[賞析：根據(jù)比的意義，結(jié)合圓柱的側(cè)面積、體積兩個公式，可以推導(dǎo)出二者之間存在一個固定的比，即SV

[賞析：這兩道題都是根據(jù)題中條件列出等式，再結(jié)合比的基本性質(zhì)列出比例，從而求出兩個未知量之間的關(guān)系(二者之比)，再用按比例分配的方法解題。]

三、根據(jù)正比例意義，巧列比例求解

例4 三條邊長分別是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，將它最短的直角邊AB對折與斜邊BC相重合(如下圖)，那么，圖中陰影部分面積是多少平方厘米?

分析：根據(jù)題意可知，三角形ABD與三角形BED完全相同，所以BE=AB=6厘米。這兩條邊上對應(yīng)的高AD與ED相等，剩余部分三角形DEC也是一個直角三角形，它的底CE邊長是10-6=4(厘米)。這三個三角形分別以AB、BE、CE為底，高分別是AD、DE，高相等。根據(jù)正比例的意義可知：三角形的高一定，面積與底成正比例。由此可知這三個三角形面積之比與底之比相等，所以這三個三角形面積之比為3∶3∶2。

大三角形ABC的面積是：6×8÷2=24(平方厘米)。

例5 如下圖，E、F分別是長方形BC、CD邊的點，三角形ABE、ADF和四邊形AECF面積相等，已知BE=8厘米，求CE長。

[賞析：這兩道圖形題都利用了正比例意義，根據(jù)正比例意義可知，“當三角形的高一定時，面積與底成正比例”，據(jù)此我們可以巧妙列比，求出未知數(shù)。]

四、根據(jù)反比例意義，轉(zhuǎn)化比巧求解

例6 一架飛機所加的油最多能夠航行9小時，某天這架飛機要外出執(zhí)行任務(wù)，去時順風，每小時能飛900千米，返回時逆風每小時能飛行720千米，問飛機最多飛出多少千米就必須返航才能安全回家?

分析：根據(jù)條件可知，要保證飛機安全返航，它飛出的路程必須與飛回的路程相等。根據(jù)路程一定，速度與時間成反比例，飛機順風與逆風的速度分別是每小時900千米和每小時720千米，速度比為5∶4，所以往返時間之比與速度比相反，為4∶5，求出往返時間就能夠求出飛機飛行的最大距離。

900×4=3600(千米)……飛機能保證安全返回的最大路程

例7 如下圖，小明8∶00從家出發(fā)到姥姥家，10∶22回家，已知他去與回家的速度比為4∶5。請問他在姥姥家玩了多長時間?他是什么時候回到家的?

分析：觀察圖可知，小明8∶00出發(fā)，8∶30到達A點，我們假設(shè)此處為學(xué)校，那么他從家到學(xué)校需要半小時。他返回時是10∶30，經(jīng)過學(xué)校，他去與回家的速度比是4∶5，根據(jù)“路程一定，速度與時間成反比”可知他從學(xué)校回家與從家到學(xué)校的時間比為5∶4。所以，他從學(xué)校回到家用了30÷5×4=24(分鐘)。同樣據(jù)此可知，他從學(xué)校(A點)到姥姥家用了10分鐘，所以他到達姥姥家是8∶40，在姥姥家用了10時22分—8時40分=1小時42分，他回到家的時間是10時30分+24分=10時54分。

[賞析：這兩道題的共同點都是利用了反比例的意義“路程一定，速度與時間成反比”，在往返同一段路程的過程中，根據(jù)速度比一定，從而得出與之相反的時間比，并由此求解。]

比的意義、性質(zhì)，特別是正、反比例的意義在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用特別廣泛。在解題時，只要我們善于觀察，抓住題中隱藏的比，巧妙化比，就能起到化繁為簡、化難為易的作用，巧妙求解。