極限教學(xué)應(yīng)把握好三個環(huán)節(jié)

摘要：在高等數(shù)學(xué)的極限教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解極限思想，轉(zhuǎn)變思維方式，重點理解極限的描述性定義，加強(qiáng)求極限的方法訓(xùn)練，提高極限理論的應(yīng)用能力，為微積分學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；極限思想；極限定義；思維方式；方法訓(xùn)練

高職院校的招生人數(shù)逐年擴(kuò)大，很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生進(jìn)入了高職院校，這給高職數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新的困難，提出了新的課題。如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效率，是高等數(shù)學(xué)教師必須思考和解決的問題。

高等數(shù)學(xué)是職業(yè)院校大多數(shù)專業(yè)開設(shè)的一門必修的、重要的基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、邏輯性決定了這門課程的學(xué)習(xí)來不得半點虛假，沒有扎實的基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本功訓(xùn)練的積累，后續(xù)的微積分學(xué)、級數(shù)、常微分方程、空間解析幾何等的學(xué)習(xí)只能是一句空話。微積分是這門課程的重點內(nèi)容，而極限理論又是微積分學(xué)的奠基石，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的主要工具，極限方法貫穿于微積分的始終，微積分基本問題的解決及主要概念的建立都要依賴于此。極限的概念和思維方法對學(xué)生來說比較陌生，加之職業(yè)院校的學(xué)生普遍數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，因而導(dǎo)致許多學(xué)生厭學(xué)。因此，怎樣從一開始就讓學(xué)生正確地掌握極限概念，正確地求出極限，是教師教好這門課程的關(guān)鍵。如果把高等數(shù)學(xué)看作是一首交響曲，那么極限就是這首交響曲的序曲，微積分就是這首交響曲的主旋律。因此，只有演奏好序曲，才能使主旋律優(yōu)美動聽。筆者從多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中體會到，如果把握好極限教學(xué)中的三個環(huán)節(jié)，就能使學(xué)生輕松地進(jìn)入微積分的學(xué)習(xí)。

了解極限思想，轉(zhuǎn)變思維方式

教學(xué)前期，應(yīng)介紹極限理論產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，讓學(xué)生初步了解樸素的極限思想，了解微積分理論的產(chǎn)生與完善歷程，通過介紹著名數(shù)學(xué)家的生平，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，降低學(xué)生對學(xué)習(xí)極限理論的恐懼感，為學(xué)習(xí)微積分理論做好思想準(zhǔn)備和知識準(zhǔn)備。

我國早期的極限思想在我國燦爛的數(shù)學(xué)史上，很早就有樸素的極限思想。魏晉時期著名數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”就是通過作圓的內(nèi)接正多邊形，使多邊形的周長近似圓的周長，隨著多邊形邊數(shù)的增加，使多邊形的周長越來越接近圓的周長。劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。這一古代了不起的極限思想的核心就是由量變到質(zhì)變，描述了事物的變化趨勢，充分體現(xiàn)了唯物辯證法的思想方法和認(rèn)識規(guī)律。所以，要引導(dǎo)學(xué)生從有限認(rèn)識無限，從已知認(rèn)識未知，從近似認(rèn)識精確。

極限理論對微積分的作用19世紀(jì)下半葉，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)建了微積分學(xué)，數(shù)學(xué)從初等數(shù)學(xué)階段進(jìn)入到變量數(shù)學(xué)的新時期，正如恩格斯評價的那樣：“變量數(shù)學(xué)不僅可以描述狀態(tài)，而且可以描述過程”。微積分產(chǎn)生以后之所以發(fā)展緩慢，應(yīng)用受到局限，原因就是微積分的理論基礎(chǔ)缺乏嚴(yán)密性，導(dǎo)致許多所謂“悖論”，數(shù)學(xué)家逐漸認(rèn)識到，對微積分基本原理的嚴(yán)格檢驗不能依賴于物理或幾何，只能依靠它自身。19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家柯西在多年的數(shù)學(xué)分析教學(xué)中創(chuàng)立了嚴(yán)密的極限理論。柯西規(guī)定：“當(dāng)一個變量相繼取的值無限接近于一個固定值，最終與此固定值之差要多小就有多小時，該值就稱為所有其他值的極限”。他把極限定義轉(zhuǎn)述為不等式，產(chǎn)生了用語言描述極限的雛形，證明了關(guān)于極限的一些較難命題，使微積分建立在鞏固的邏輯基礎(chǔ)上，構(gòu)成了由定義、定理及其證明和有關(guān)各種應(yīng)用組成的邏輯上緊密聯(lián)系的體系。通過介紹極限理論和微積分學(xué)的創(chuàng)立過程，可使學(xué)生了解極限理論對微積分學(xué)的作用，知道極限理論在高等數(shù)學(xué)中的重要地位，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

引導(dǎo)學(xué)生改變思維方式由于極限描述的是從量變到質(zhì)變的變化過程，是從客觀到抽象的飛躍，因此，學(xué)生的思維方式也要轉(zhuǎn)變，從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)到變量數(shù)學(xué)；從定量、定性的分析研究方式轉(zhuǎn)到變量、變性的分析研究方式；從簡單、直接、有限的運算推理轉(zhuǎn)到復(fù)雜、抽象、無限的具有嚴(yán)密邏輯性的運算推理。這三個方面的轉(zhuǎn)變在極限教學(xué)的初期就要逐步滲透，在教學(xué)中要理論聯(lián)系實際，巧舉正反實例。例如，極限的和差運算必須在函數(shù)極限存在而且是有限次運算的條件下進(jìn)行，其反例可由極限的夾逼性推出：

通過對比分析初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識點，循循善誘，逐步引導(dǎo)，可讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步實現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)變，逐步形成良好的極限思維方式，為今后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，這對逐步提高職業(yè)院校學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與解決問題的能力很有幫助。

注重文字形式的極限定義，淡化分析形式的極限定義

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，極限是學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵和難點，微積分中的重要概念都是用極限定義的。實踐證明，因為學(xué)生以前幾乎沒有接觸過嚴(yán)格的極限概念，而且學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱，所以遇到極限問題自然會產(chǎn)生疑問與困惑。為了幫助學(xué)生理解和掌握極限定義，教師要用恰當(dāng)?shù)睦舆M(jìn)行描述和解釋，要自然流暢，淡化形式，降低難度，將重點放在極限思想的描述上。極限定義有兩種形式：一種是文字的形式，一種是分析的形式。對初學(xué)者而言，文字概念的直觀性強(qiáng)，容易舉例說明，與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，學(xué)生較易掌握，是教學(xué)的重點。分析形式的極限定義ε-δ（N）較抽象，難理解，特別是由ε確定δ或N，不容易掌握，是教學(xué)難點，而高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求深刻理解極限的描述性定義，對ε-δ（N）的定義要求一般理解。因此，在極限概念的教學(xué)中，應(yīng)注重分解難點，突出重點，使學(xué)生輕松步入極限運算與極限概念應(yīng)用的學(xué)習(xí)中。

在教學(xué)初期，可列舉學(xué)生熟悉的數(shù)列極限實例，用從特殊到一般的方法，講述數(shù)列極限概念，使學(xué)生對“無限逼近”有個全面正確的認(rèn)識，通過圖像、表格對無限變化的穩(wěn)定趨勢進(jìn)行定性分析，概括出數(shù)列極限的描述性定義，為學(xué)習(xí)函數(shù)極限獲得豐富的感性知識。對于函數(shù)極限定義可用同樣的方法進(jìn)行教學(xué)，通過舉例對當(dāng)函數(shù)自變量向某個方向變化時函數(shù)值變化的穩(wěn)定趨勢進(jìn)行定性分析，總結(jié)出函數(shù)極限的描述性定義。當(dāng)學(xué)生理解了極限的描述性定義后，可在極限運算和應(yīng)用的教學(xué)中采用循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，逐步使學(xué)生理解ε-δ（N）的含義，達(dá)到對極限概念的深層次理解，使學(xué)生順利地進(jìn)入微積分主體部分的學(xué)習(xí)。

加強(qiáng)運算方法訓(xùn)練，提高極限理論的應(yīng)用能力

極限運算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點和重點，因為極限方法是討論微積分學(xué)中函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念的工具，極限運算方法掌握得好壞直接影響到微積分理論的學(xué)習(xí)效果，所以，在極限教學(xué)的后期，要著重對學(xué)生進(jìn)行極限運算方法的訓(xùn)練，使他們能夠熟練地應(yīng)用極限運算法則、無窮小量、無窮大量、重要極限等去解決各種類型的求極限問題，提高極限理論的應(yīng)用能力，給微積分主體部分的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳文俊.世界著名數(shù)學(xué)家傳記[M].北京：科學(xué)出版社，1995.

[2]侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2003.

作者簡介：

晏素珍（1963—），女，甘肅古浪人，武威職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部主任，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

（本文責(zé)任編輯：王恒）