一道開放題的教學與反思

〔關鍵詞〕 開放題；無究級數；悖論；合理性；主動性；問題性

〔中圖分類號〕 G633.62

〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2008）05（B）—0055—01

[題目] 育紅學校七年級學生步行到郊外旅行，（1）班的學生組成前隊，步行速度為4千米/時，（2）班的學生組成后隊，步行速度為6千米/時。前隊出發1小時后，后隊才出發，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回聯絡，他騎車的速度為12千米/時。根據上面的事實提出問題并嘗試去解答。

[教學]這是一道開放型問題，在教學中我鼓勵學生大膽提出問題并嘗試自己去解決，然后與同伴交流自己的問題和解決問題的過程。當各教學小組匯報了自己的活動情況，我作了總結之后，有一位學生問了這樣一個問題：當后隊追上前隊時，聯絡員一共走了多少個來回？我們知道，這是一個無窮級數問題。但問題提出來了，我們該怎么處理？是簡單的一句話帶過，還是給學生講明白及如何才能講明白？而此時，已到了下課時間，于是我表揚了這位用心思考問題的學生，并請學生們在課后先思考這個問題，等到下一節課時再來共同探討。

這節課是結束了，但卻留下了新的問題。此問題該如何解決？我陷入了深思。依據新課標的要求，我認為：首先，應遵循學生學習數學的心理規律，不能打擊學生發現問題并提出問題的積極性。其次，應使提出問題的學生有一種自豪感，通過此問題進一步培養學生學習數學的興趣和發現問題并提出問題的積極性。再次，應通過此問題讓學生發現數學之美，并深深地喜歡它。于是，我這樣安排了下一節課的教學內容：

首先，讓學生講述他們自主探究的結果。其次，給學生講“阿里基斯追不上烏龜”的悖論：阿里基斯與烏龜賽跑，阿里基斯的速度是烏龜速度的10倍，烏龜先行100米，阿里基斯開始追趕；等到阿里基斯走過100米時，烏龜又走了10米，等到阿里基斯再走10米時，烏龜又走了1米……阿里基斯永遠也追不上烏龜。這個悖論所反映的問題是：無窮多個時間段，是否是無限長的時間？再次，結合悖論，對問題進行分析，從而解決問題。最后，介紹悖論的概念、悖論在數學發展中的作用、希爾伯特的證明論及哥德爾不完備理論。

[反思]隨后，我對此題所引發的問題進行了教學反思：

1.內容安排的合理性。本節課所探討的問題不在考試范圍之列，從應試教育的角度來說，探討這個問題是多余的，而從素質教育的角度來說，我認為是必要的，從課堂上學生的反映來說，是符合新課程改革理念的。通過對此問題的探究，不僅使學生學到了知識，開闊了視野，而且激發了他們學習數學的興趣，初步認識了數學之美。

2.學生學習方式的主動性。主動性是現代學習方式的首要特征，在學生的具體學習活動中表現為“我要學”。“我要學”是學生對學習的一種內在需要，而學習興趣是學生學習內在需要的一個方面的表現。學生有了學習興趣，學習過程對于他們來說就不是一種負擔，而是一種享受，一種愉快的體驗，學生會越學越想學、越愛學。本節課的教學，不僅使提出問題的學生有一種成就感，享受到成功的樂趣，增強了學習的信心，更使全體學生享受了數學之美，增強了學習數學的興趣。

3．學生學習方式的問題性。現代教學論研究指出，產生學習的根本原因是問題，沒有問題也就難以誘發和激起學生的求知欲；沒有問題，感覺不到問題的存在，學生也就不會去深入思考，那么學習也就只能是表層和形式的。本節課培養了學生的問題意識，使學生在今后的學習中敢于和善于提出問題，使問題成為生長新思想、新方法、新知識的種子。

4．教學相長。新課程強調，教學是教與學的交往、互動，師生雙方應相互交流、相互溝通、相互啟發、相互補充，教師應與學生分享彼此的思想、經驗和知識，交流彼此的情感、體驗與觀念，從而達到共識、共享、共進的目標，實現教學相長。通過解決本節課所要探討的問題，我不僅對悖論的概念、悖論在數學發展中的作用、希爾伯特的證明論及哥德爾不完備理論等知識有了一次再學習、再認識的機會，而且在探究此問題的過程中，在教學觀念、對新課程的理解、知識面等多方面都得到了提高。