“橢圓第二定義”的教學方案

〔關鍵詞〕 橢圓第二定義；橢圓方程；焦點

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2008）11（B）—0063—01

在高二第一學期的教學內容進入“圓錐曲線”問題時，我們會遇到“橢圓的第二定義”.盡管學生對第二定義的學習頗有興趣，但其在教材中的出現只是一個簡單的例題形式，引不起學生的重視，常常在不經意中被忽視，使學生“知其然，而不知其所以然”.因此，為了更好地揭示這一問題的思考過程，上好這節課，我參考了一些教學資料，對比設計了兩種教學方案.

方案一：首先，向學生提出問題：設橢圓方程為+=1，只知橢圓上點的橫坐標為-3或2，不求縱坐標，你能求出這些點到焦點的距離嗎？讓學生帶著問題進入課本例題的學習，并通過畫圖、識圖，求出點M的軌跡方程，進而得出橢圓的第二定義.然后讓學生自己解決最初的問題，使這節課的內容完成，重點突出.在此過程中，學生由于自己解決了一個問題，因而會對橢圓的第二定義印象深刻，同時還會學會利用橢圓的第二定義解決其他問題.

方案二：首先，和學生一起復習橢圓的標準方程，并且引導學生回憶在橢圓標準方程的推導過程中，方程+=2a的化簡是通過兩次兩邊平方進而求得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），直至得出標準方程+=1.

至此話鋒一轉，引導學生思考：上述化簡過程步驟復雜，我們能否運用其他方法，使推導過程更簡捷一些呢？進而引導學生得出以下方法：

設=a+t，=a-t（t是參數），由于（a+t）2-（a-t）2=[] 2-[] 2=4cx， ∴ 4at=4cx，得t=x.從而有=a+x. ①

在學生推出橢圓標準方程后，繼續引導學生思考：①式的幾何意義表示什么？由①可得=.不難看出，表示點P（x，y）到點F1（-c，0）的距離，而x+表示點P（x，y）與直線x=-的距離，上述兩距離的比值為.從推導過程明顯看出，橢圓第一定義與橢圓第二定義是等價的，此時再介紹橢圓第二定義，便水到渠成.

由于以上設計思維的入口不是朝橢圓第二定義的方向進行，而是要求學生簡化橢圓標準方程的推導，所以能很好地引發學生的學習興趣.推導過程中不僅得到橢圓第二定義，同時還得到焦半徑公式：|PF1|==a+ex，|PF2|==a-ex，有利于今后的教學和應用.

對以上兩種教學設計思路進行比較：方案一的教學過程簡單，比較適合學習一般的學生，但在所提問題中，已知橫坐標，縱坐標非常易求，為什么不去求縱坐標，而要繞圈子去求點到焦點的距離又不太符合思維簡捷的習慣，因而學生思考的積極性可能受到影響；方案二的設計能夠依據教材，重新找到思維入口來學習橢圓第二定義，靈活度較大，有創新意識，能充分調動學生的積極性和激發學生的主動性，但它對學生的教學基礎與思維素質有較高的要求.

以上兩個設計說明教師的課堂教學既要依據教材，而又不拘泥于教材；既要靈活地使用教材，而又不能生搬硬套教材.在教學中選準恰當的思維入口，不僅使我們的教學思維更加流暢，同時能使教學效率得到很大提高.