雙曲線應用性研究

〔關鍵詞〕 雙曲線；漸近線；直線方程；切線

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）12（B）—0022—02

雙曲線有許多幾何性質，本文以定理的形式給出其中的一個，并對該性質的應用性進行研究，借此來促進筆者對新課程改革中所倡導的研究性學習理念的理解與實施.

一、定理的證明

[定理]若一直線被雙曲線的一支及兩條漸近線所截，則夾在雙曲線與漸近線間的線段長相等.

證明：設雙曲線E的方程為-=1，直線l與雙曲線E及兩條漸近線依次相交于A、B、C、D四點（如圖1）.

①若直線l與x軸垂直，依題意知點A、D，點B、C均關于x軸對稱，易知=.

②若直線l不與x軸垂直，設l的方程為y=kx+m，記B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中點為M（xm，ym）.由

y=kx+m，-=1，得（b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0（b2-a2k2≠0）.則xm=，ym=kxm+m.得M（，）.

設A（x3，y3）、D（x4，y4）為直線l與兩條漸近線的交點，AD的中點為N（xn，yn）.由y=kx+m，b2x2-a2y2=0得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2=0（b2-a2k2≠0），同理得N（，）.

故M、N兩點重合，于是=-=-=.

綜上①②有=，于是定理獲證.（若直線與雙曲線交于兩支，同理可證）

由定理的證明，我們清楚地看到=?圳線段AD與BC的中點重合這一必然關系.

二、定理的應用性研究

1.從特殊到一般的研究

我們先從下面的問題說起.

[問題]如圖2，直線l與雙曲線x2-y2=1的同一支及兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，若=，求△AOD的面積.

解： 雙曲線的漸近線程為y= ±x，由定理知=. ∵= ， ∴ ==，于是有=.

設A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），則x2==，y2==.

∵點（x2，y2）在雙曲線x2-y2=1上，

∴ -=1，化簡得x1x4=.

∵∠AOD=90°，∴S△AOD=x1#8226;x4=x1x4=.

我們注意到應用了文本介紹的定理使此問題的求解過程變得十分簡捷.此問題中的雙曲線比較簡單，那么對于一般的雙曲線E：-=1，被直線截同一支及兩條漸近線依次為A、B、C、D四點，且當=?姿（0≤?姿＜1）時，△AOD的面積如何去求呢？下面就來研究這一問題.

解：如圖3，由定理知=. ∵ =?姿， ∴ -=?姿（+），化簡得=.設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.

∵雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，

∴ A（x1，x1），D（x4，-x4），由定比分點公式得

x2=，y2=.

由點B（x2，y2）在雙曲線b2x2-a2y2=a2b2上，將x2，y2代入并化簡得x1 x4=.

∴ S△AOD = |OA|#8226;|OD|#8226;sin2?茲 =.#8226;sin2?茲=x1x4 tan?茲=#8226;=（?茲=∠AOx）.

很顯然，當a=b=1及?姿=時該結果即為例1的情形.

2.用運動的觀點來探究

我們可以設想將1中的直線l不斷移動（可以帶有旋轉地移動），逐漸使B、C兩點愈來愈靠近，最后可以得到一種B、C重合的狀態.記B、C重合的點為P，由本文定理知，=，即點P為AD的中點.以極限的觀點來判斷此時直線l為雙曲線的切線，點P為切點，下面我們從另一角度來證明這一事實.

我們先來求出直線l的方程，再去判斷直線l與雙曲線E：-=1的位置關系.設A（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0）.由=，得=（+）， 即（x0，y0）= （x1+x2，y1+y2）.

（1）當直線l的斜率k存在時（k≠0），如圖4，k=#8226;=.得直線l的方程為y-y0=（x-x0），即b2x0x-a2y0y=b2x02-a2y02=a2b2，即-=1，由-=1，-=1，?圯（b2x02-a2y02）x2-2a2b2x0x+a4（b2+y02）=0，此方程的判別式?駐 =4a4b4x02-4a4（b2+y02）（b2x02-a2y02）=0.故直線l與雙曲線E相切于點P.

（2）當直線l的斜率不存在時，點P為頂點，易知直線l與雙曲線E相切于點P.

由此我們得到一個重要的性質.

性質1設點P是雙曲線E上的一點，過點P的直線l與雙曲線E的兩條漸近線分別交于點M、N，若OP=（+），則直線l是雙曲線E的切線，點P就是切點，此時就是1中λ=0的情形.

性質2雙曲線E的任一切線l與兩漸近線圍成的三角形面積為一個定值ab=ab（?姿=0）.

同時性質1也為我們提供了過雙曲線E上一點畫雙曲線切線的幾何畫圖方法.

畫法如下：如圖5，P是雙曲線E上的一點，連結OP并延長至點Q，使OP=PQ，過點Q分別作雙曲線E的兩條漸近線的平行線，交兩漸近線于點M、N，連結MN，則直線MN即為雙曲線E的切線，點P為切點