恒成立條件下參數問題的求解策略

〔關鍵詞〕 恒成立條件；參數；不等式；函數值域；

等價轉化；分離參數；主參互換

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）12（B）—0023—02

所謂恒成立條件下參數的范圍是指某個含參數的數學對象在給定條件下的參數允許取值的全體.求參數范圍的本質則是根據條件尋求對參數的限制，再由這種限制得出參數范圍.參數的范圍一般用不等式表示，這樣尋求對參數的限制可優先考慮，化歸為關于參數的不等式（組）.當然，若所求為另一個變量的函數時，可考慮借助函數值域或范圍.

求參數范圍的一般步驟為：１.由給定條件尋找對參數的限制；２.將對參數的限制化歸為不等式（組）或函數的值域；３.由不等式（組）在尋找參數的范圍時，可充分考慮利用判別式法、基本不等式法、數形結合法等.

在將限制條件劃歸為不等式（組）或函數值域時常用等價轉化、分離參數、主參互換、數形結合等方法.下面通過幾個例題對這些方法作以展示，希望對讀者有所啟示.

等價轉化

有些題目直接入手解決往往比較復雜，但若對題設中的式子作以等價轉化，則可以化繁為簡，易于問題的解決.

例1：設對所有實數x，不等式x2log2+2xlog2+log2＞0恒成立，求a的取值范圍.

分析：此題直接求解比較麻煩，若令log2=t，則原式可化為（3+t）x2-2xt+2t＞0恒成立，經過分析可求解.

解：設log2=t，則欲使已知不等式大于0恒成立，只需（3+t）x2-2xt+2t＞0恒成立，即3x2+[（x-1）2+1]t＞0恒成立，故只需t＞0，即log2＞0，解得0＜a＜1.

分離參數法

對于有些問題若能將已知式子中的未知數和參數分離開來，則可通過求函數的值域求出參數的取值范圍.

例2：已知函數f（x）=，x∈[1，+∞），若對任意x∈[1，+∞）， f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍.

分析：此題可先經過等價轉化， 由區間[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立，然后將不等式分離參數得g（a）＞ f（x）恒成立， 再求得f（x）的最大值f（x）max，由g（a）＞f（x）max得a的取值范圍.

解：在區間[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立.要使x2+2x+a＞0恒成立，只需a＞-x2-2x=-（x+1）2+1恒成立.由二次函數的性質可得-（x+1）2+1≤-3，故a＞-3.

利用函數的最值

例3：同例2.

分析：此題可等價轉化為在區間[1，+∞）上x2+2x+a＞0恒成立，令y=x2+2x+a，x∈[1，+∞），判斷y=x2+2x+a在區間[1，+∞）上的單調性從而求出ymin=3+a，再根據ymin=0時f（x）＞0恒成立解得a的取值范圍.

解：在區間[1，+∞）上f（x）＞0恒成立?圳x2+2x+a＞0恒成立.因為函數y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在區間[1，+∞）上為增函數，所以當x=1時，ymin=3+a.于是當且僅當ymin=3+a＞0時，f（x）＞0恒成立，即有a＞-3.

利用函數的單調性

通過研究函數的單調性確定函數的值域，從而求出參數的范圍也是解此類題目常用的方法.

例4：同例2.

分析： 先將f（x）=， x∈[1，+∞）化簡為 f（x）=x++2，x∈[1，+∞），再通過判斷此函數的單調性求出f（x）min=3+a，進而求得a的取值范圍.

解： f（x）=x++2，x∈[1，+∞），當a≥0時，函數f（x）的值恒為正；當a＜0時，y=x+2與y=在[1，+∞）上均為增函數.所以f（x）=x++2在x∈[1，+∞）上為增函數， 故當x=1時， f（x）min=3+a.于是當且僅當 f（x）min=3+a＞0時，f（x）＞0恒成立.故a＞-3.

主參互換

在求參數范圍時，如果直接求解較為困難，那么在已知條件中將參數和未知數進行換位，則可使問題迎刃而解.

例5：已知方程ax2-2（a-3）x+a-2=0中的a為負整數，試求使方程恒有整數解時a的取值范圍.

分析：可將關于x的二次方程通過變更主元化為關于參數a的一次方程，由方程得（x2-2x+1）a+6x-2=0，再根據a的取值范圍求得x的取值范圍，從而確定x的取值，再經過討論可求得a的取值范圍.

解：因為ax2-2（a-3）x+a-2=0，所以（x-1）2a=2-6x.

顯然x≠1，得a=.（1）

∵ a為負整數，∴ a≤-1.故≤-1，即x2-8x+3≤0，解得4-≤x≤4+.

因此，x的整數值只能為2、3、4、5、6、7，逐個代入（1）式中，可知x=2時，a=-10； x=3時，a=-4.故當a為-4或-10時，方程恒有整數解.

注：此解通過變更主元將關于x的二次方程轉化為關于a的一次方程，起到了降次、化簡的功效，更是避免了不必要的分類討論.

構造函數法

根據題目中所給的含參不等式的結構特征構造適當的函數，并利用函數的性質可求參數的范圍.

例6：已知不等式++…+＞loga（a-1）+對于大于1的一切自然數n恒成立，試求參數a的取值范圍.

分析： 根據題目所給的不等式的特點構造函數f（n）=++…+，并通過判斷此函數的單調性求出f（n）的最小值為f（2）=，由f（n）＞loga（a-1）+對于大于1的一切自然數n恒成立，必須有loga（a-1）+＜，從而可求得a的取值范圍.

解：構造函數f（n）=++…+，則f（n+1）-f（n）=+-=＞0.

由此可知，關于n（n＞1，n∈N）的函數f（n）在[2，+∞）上是單調遞增函數.

又∵ n是大于1的自然數，∴ f（n）≥f（2）=.

故要使f（n）＞loga（a-1）+對于大于1的一切自然數n恒成立，必須有loga（a-1）+＜.

∴ loga（a-1）＜-1， ∴ a∈（1，）.