對一道中考題的探究與引申

題目一旦獲解，則心滿意足，若拋之腦后，就可能錯過了提高的機(jī)會，對一些習(xí)題的深入探究與引申是極為重要環(huán)節(jié)，下面筆者以一道中考題為例談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，問在邊AB上是否存在點P，使得△PAD與△PBC相似？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

解法：解：設(shè)AP=x。此題分兩種情況：

綜上所述，當(dāng)AP= ，1或6時，△PAD與△PBC相似。

變式：解答一道數(shù)學(xué)題，若能將其中的條件、結(jié)論或問題的呈現(xiàn)方式作一些改變，可以促使學(xué)生隨時根據(jù)變化的條件積極思考進(jìn)行類比，提煉解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。我們對這道中考題進(jìn)行條件變式：

變式1：如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=8，問在邊AB上是否存在點P，使得△PAD與△PBC相似？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

解法：解：設(shè)AP=x。此題分兩種情況：

綜上所述，當(dāng)AP= 時，△PAD與△PBC相似。

變式2：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=6，AD=1，BC=9，問在邊AB上是否存在點P，使得△PAD與△PBC相似？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

解法：解：設(shè)AP=x。此題分兩種情況：

綜上所述，當(dāng)AP= 或3時，△PAD與△PBC相似。

引申：數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，數(shù)學(xué)方法是解題的鑰匙，在解題中，有針對性地深入探究，對習(xí)題進(jìn)行引申，運用數(shù)學(xué)思想，提煉解題方法，總結(jié)解題規(guī)律，是開發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一個重要途徑。對這道中考題，作如下的引申探究：

如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，AB=b，BC=c，問在邊AB上找一點P，使得△PAD與△PBC相似，這樣的P點是否存在？存在幾個？并說明你的理由。

解法：解：設(shè)AP=x。此題分兩種情況：

① 當(dāng)時b -4ac＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根。

但有一種特殊情況，當(dāng)b=a+c時，b -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) ＞0此方程有兩個不相等的實數(shù)根，解得：x =a，x =c。這時

x= = =a，兩點重復(fù)，這時點P只有兩個。

②當(dāng)b -4ac=0時，此方程有兩個相等的實數(shù)根。

③當(dāng)b -4ac＜0時，此方程沒有實數(shù)根。

綜上所述，當(dāng)b -4ac＞0，且b≠a+c時，點P存在3個，使△PAD與△PBC相似；當(dāng)b -4ac=0，或b=a+c時，點P存在2個，使△PAD與△PBC相似；當(dāng)b -4ac＜0，點P存在1個，使△PAD與△PBC相似。

“習(xí)題是數(shù)學(xué)的心臟”，在解題和教學(xué)中，適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生對習(xí)題深思，深入探究、引申，尋找解題方法、規(guī)律，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣，有利于開發(fā)學(xué)生的潛在智能，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”