對一道中考題的探究與引申

題目一旦獲解，則心滿意足，若拋之腦后，就可能錯過了提高的機會，對一些習題的深入探究與引申是極為重要環節，下面筆者以一道中考題為例談談自己的認識。

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，問在邊AB上是否存在點P，使得△PAD與△PBC相似？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

解法：解：設AP=x。此題分兩種情況：

綜上所述，當AP= ，1或6時，△PAD與△PBC相似。

變式：解答一道數學題，若能將其中的條件、結論或問題的呈現方式作一些改變，可以促使學生隨時根據變化的條件積極思考進行類比，提煉解題方法，從而培養學生思維的靈活性。我們對這道中考題進行條件變式：

變式1：如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=8，問在邊AB上是否存在點P，使得△PAD與△PBC相似？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

解法：解：設AP=x。此題分兩種情況：

綜上所述，當AP= 時，△PAD與△PBC相似。

變式2：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=6，AD=1，BC=9，問在邊AB上是否存在點P，使得△PAD與△PBC相似？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

解法：解：設AP=x。此題分兩種情況：

綜上所述，當AP= 或3時，△PAD與△PBC相似。

引申：數學思想是解題的靈魂，數學方法是解題的鑰匙，在解題中，有針對性地深入探究，對習題進行引申，運用數學思想，提煉解題方法，總結解題規律，是開發學生思維，培養學生創新能力的一個重要途徑。對這道中考題，作如下的引申探究：

如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，AB=b，BC=c，問在邊AB上找一點P，使得△PAD與△PBC相似，這樣的P點是否存在？存在幾個？并說明你的理由。

解法：解：設AP=x。此題分兩種情況：

① 當時b -4ac＞0，此方程有兩個不相等的實數根。

但有一種特殊情況，當b=a+c時，b -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) ＞0此方程有兩個不相等的實數根，解得：x =a，x =c。這時

x= = =a，兩點重復，這時點P只有兩個。

②當b -4ac=0時，此方程有兩個相等的實數根。

③當b -4ac＜0時，此方程沒有實數根。

綜上所述，當b -4ac＞0，且b≠a+c時，點P存在3個，使△PAD與△PBC相似；當b -4ac=0，或b=a+c時，點P存在2個，使△PAD與△PBC相似；當b -4ac＜0，點P存在1個，使△PAD與△PBC相似。

“習題是數學的心臟”，在解題和教學中，適當地引導學生對習題深思，深入探究、引申，尋找解題方法、規律，有利于激發學生學數學、用數學的興趣，有利于開發學生的潛在智能，有利于培養學生的創新能力。

參考文獻：

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