高等代數課程創新教學研究

摘要： 高等代數是數學各專業的重要基礎課程，本文主要從知識結構、教學內容優化以及學生思維積極性的調動等方面探討高等代數課程教學改革。

關鍵詞： 創新教學 高等代數 知識結構 教學內容

高等代數是數學各專業的重要基礎課程，課程內容可分為多項式理論和線性代數理論兩部分，以線性代數理論為重點。在傳統的高等代數教學中，主要以知識點的獨立講授為主，常常忽視知識點的應用以及知識點的關聯；高等代數課程內容從知識模塊角度可分為多項式理論、矩陣及線性方程組理論和線性空間理論，傳統的教學中，經常忽視知識模塊的完整性；傳統的高等代數教學對于學生的主體地位體現不夠，不能很好地調動學生的思維積極性。針對傳統高等代數教學的不足，筆者結合兩年的教學實踐，以下從三個方面探討高等代數課程的創新教學。

1 對知識結構的合理調整

我校高等代數課程使用的教材為北京大學數學力學系的《高等代數》第三版，講授時間為一年。以往的教學中，從第一章多項式知識開始講授，兩個問題：其一，大一的學生學習高等代數的同時還學習解析幾何，而解析幾何課程一開始就要用到行列式相關理論，這就使得教師不得不在解析幾何課程中講授行列式的基本理論，浪費了課程資源；其二，第一學期只能講授前三章，這樣作為矩陣理論知識模塊的二、三、四章就不能系統講授。所以現階段的教學把第一章多項式放到第二學期講授，這樣第一學期就集中教授矩陣和線性多項式理論模塊二、三、四章，既滿足了學生學習解析幾何對行列式知識的需求，也保證了知識模塊的完整性，同時方便了知識點的集中系統講授。

針對高等代數課程課時比較緊張的現狀，同時結合學生對知識的接受規律，對一些章節的講授做了適當調整。首先，對于相對比較抽象而冗長的證明，主要布置給學生作為課后作業進行閱讀和理解，讓學生主要以了解證明思路為主，例如代數基本定理的證明，矩陣的行秩與列秩相等等問題和定理的證明。其次，教材中所有帶*號的內容都不在課堂上講授，把那些相對重要的內容作為學生的課后讀物，例如最小多項式以及λ—矩陣相關內容。同時，把第四章等的內容進行調整，把初等矩陣的知識放在分塊矩陣的前面，主要是希望學生能通過初等矩陣的學習，了解矩陣的行或列的整體性，從而幫助學生理解分塊矩陣。

2 充分挖掘和利用知識點的關聯

高等代數知識以線性代數理論為重點，而在線性代數中，矩陣理論是核心，所以以矩陣理論為主線，高等代數各知識點之間有著密切的關聯。如何利用這些知識點的關聯幫助學生理解高等代數的知識結構是高等代數教學的關鍵，在實際教學中，可以抓住以下幾個關系：

2.1 向量理論與矩陣理論的關聯

向量可以看作只有一行或者只有一列的矩陣，同時矩陣的行或者列都分別可以看作行向量或者列向量，于是矩陣就可以看作一個行向量組或者列向量組；反過來，一個向量組又可以“拼湊”成一個矩陣。抓住這樣的關系，向量與矩陣的知識就可以相互關聯，例如：

例1：求向量組α =(1，0，0，a)，α =（0，1，0，b），α =（0，0，1，c）的秩，其中a，b，c為任意常數。

2.2 矩陣理論與線性方程組理論的關聯

矩陣理論與線性方程組理論的關聯是很明顯的，比如與線性方程組密切相關的系數矩陣和增廣矩陣，可以通過系數矩陣和增廣矩陣的秩的關系判斷線性方程組的解的情況，但利用方程組的理論解決矩陣問題卻經常被忽視，比如下面的問題：

例2：若A B =0，證明：r(A)+r(B)≤n，其中r(A)表示矩陣A的秩。

證明思路：首先對矩陣B進行分塊得到(β ，β ，…，β )，可得：

從而Aβ =Aβ =…=Aβ =0，這樣矩陣B的每一個列向量都是齊次線性方程組AX=0的解，由齊次線性方程組的相關理論容易證明r(A)+r(B)≤n。

2.3 其它知識點的關聯

高等代數中其它知識點的關聯還有很多，比如：（1）矩陣理論與線性變換理論的關聯，因為任何一個線性變換在一組基下都有一個矩陣和它對應，同時線性變換的運算和矩陣運算有對應關系；（2）多項式理論與矩陣理論的關聯，一個矩陣是否可對角化與它的最小多項式是否有重根有關系；（3）歐氏空間理論與對稱矩陣理論的關聯，等等。

3 通過思考題調動學生的思維積極性

數學的理論是抽象的，不容易引起學生的思維興趣，要想達到一個良好的教學互動和教學效果，通常有兩種做法：第一，介紹知識點的應用；第二，應用大量的思考題。下面就通過幾個例子介紹高等代數課程中的思考題的設立。

在高等代數的學習中，學生對很多知識點的理解經常是片面的，這時候如果能夠適當地提出一些思考題，同時糾正學生的錯誤回答，可以幫助學生更全面地理解知識。

思考題1：f(x)，g(x)，u(x)，v(x)∈P［x］，且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，那么d(x)是否為f(x)，g(x)的最大公因式？

分析：這個問題是在學習完第一章第4節最大公因式的知識之后提出的，最初看到這個問題的時候，很多學生會認為答案為“是”，原因是學生知道f(x)，g(x)的最大公因式d(x)都有表達式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教師最后給出否定的回答，并給出反例，讓學生了解不是所有問題的逆命題都是正確的。

思考題2：f(x ，x ，x )=(x ，x ，x )123132133x x x 是否為二次型？

分析：這個問題是學習完二次型第一節后提出的，當最初接觸二次型的知識的時候，學生經常對這個問題猶豫不決，主要原因是學生了解二次型的矩陣是對稱矩陣，但是這個式子中間的矩陣不是對稱矩陣，那這個不是一個二次型？如果我們回到二次型的定義，只要是一個二次齊次多項式，就是一個二次型。所以這個思考題的回答是肯定的，而且這個二次型的矩陣為13/223/235/225/23。最終通過這個思考題讓學生真正了解二次型的本質結構就是二次齊次多項式。

思考題還可以幫助調動學生的積極性，幫助學生加強對知識的理解，更重要的是幫助學生發現新的問題，思考新的問題。

思考題3：在二次型研究中，為什么我們只關注非退化的線性替換？

分析：這個問題是在學習了二次型第二節以后提出的，讓學生通過對這個問題的思考了解非退化的線性替換賦予了二次型之間“相互”變化的能力，即若f(x ，x ，…，x)經過非退化的線性替換X=CY，|C|≠0變為g(y ，y ，…，y )。由于|C|≠0，C 存在，則g(y ，y ，…，y )可經過非退化線性替換Y=C X變為f(x ，x ，…，x )。

如何提高高等代數的教學質量是每一位教師不斷思考的問題，以上的一些方法是筆者在近兩年的教學實踐中不斷思考和總結出來的。在以后的教學中，我們應在課后作業、學生科研等方面尋求教學改革突破。

參考文獻：

［1］北京大學數學力學系.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>