變式練習與小學數學應用題解題能力的獲得

摘 要：數學應用題解題能力是運用陳述性知識、程序性知識和策略性知識解決數學問題的能力。變式練習是數學應用題解題能力獲得的必要條件，教師必須設計應用題解題規則的變式練習和應用題中相關概念的變式練習，以促進在練習中獲得的應用題產生式能夠遷移到新的應用題情境中，從而提高應用題的解題能力。

關鍵詞：應用題解題能力 變式練習 小學數學

1引言

在小學階段，應用題一直是教學任務的重中之重，是培養學生解決實際問題能力的主要方式。在小學高年級它更是一大重頭戲，是重點也是難點。考察一下測試卷我們就會發現，應用題在每一個測試評價中都占有25％—30％左右的比例，由此可見其在教學和學習中地位的重要。特別是諸如歸一問題、工程問題、相遇問題等目前稱之為特殊類型的應用題，可能其更能代表學生的技能學習水平，故其出現的頻率要明顯高于一般應用題。而目前這些應用題的教學現狀卻不容樂觀，很多教師為了提高考試成績，將這幾種應用題孤立教學，而且多偏重于內容的教學而忽視了技能培養，有的教師甚至是讓學生死記住一些解題規則。這樣做實際上已經將程序性知識作為陳述性知識來教，雖能使學生更好地掌握這些內容，短時期內提高成績，但卻不利于培養學生的一般能力，形成有效遷移，學生一旦遇到變化了情景的題目將束手無策。而且，從另一個方面來看，這樣教學實際上加重了學生的學業負擔。學習結果不同，學習的條件也會相應不同，陳述性知識強調記憶，更注重練習的頻因；而程序性知識強調在理解的基礎上培養學生的解題能力，從而進一步應用于新情境，獲得技能，形成遷移，更注重練習的變化。如果顛倒而教，則學生不但容易陷入題海戰術的困擾中，加重負擔，而且不利于技能的獲得，學生往往只能進行匹配性解題而不能發生遷移，只記住一些解題規則卻不能應用于新情境。而如果將它們孤立教學，則本來隸屬于一個基本技能的知識卻被分割成幾個技能來學習，不利于學生很好地將知識同化到自己的認知結構當中去，同樣不利于技能的遷移，又加重了學生的負擔。因此，現在擺在我們面前的問題就是如何能既減輕學生學業負擔又更好地培養學生的技能。

2 數學應用題解題能力的性質

數學應用題解題能力是知識的綜合運用。一般而言，數學應用題的解題過程包括問題表征、設計解題計劃、執行解題計劃和監控等四個步驟，每一個步驟的完成都與知識的運用緊密相關。

問題表征是指形成問題空間的過程，即明確問題給定的條件、目標和允許的操作。它包括問題表層理解和問題深層理解。在表層理解中，學生需要逐字逐句地讀懂應用題的每一個句子。這時，學生需要兩類知識，一是詞語知識，二是事實的知識，它們是讀懂題意的基礎。很明顯，這兩類知識都屬于陳述性知識，是由命題和命題網絡來表征的。如果學生不具備這兩類知識，就無法讀懂應用題的題意。問題深層理解是進一步將問題的每一陳述綜合成條件與目標相統一的心理表征，這使學生能夠識別問題的類型，并區分問題中的有關信息和無關信息，從而為解題計劃的設計奠定基礎。大量的研究表明，學生能否對應用題產生深層的理解，取決于在他們的頭腦中是否存在相關事物或事件的圖式。

解題計劃是在理解了應用題的條件與目標之后所設想的解題方案。設計這種方案，需要學生將終點目標分解成一系列的子目標，然后在總目標的指引下，考慮已知條件，選擇合理的運算步驟，保證最終達到終點目標。在這個過程中，學生能夠具備解題的策略性知識。比如已經掌握了逆推法策略的學生，有可能從應用題的終點目標出發，一步一步地向問題的起始點推理。如果中介性的子目標都能夠解決，最后的終點性目標便有可能迎刃而解了。

執行解題計劃是利用數學計算規則進行一系列的數學運算，最后求得正確的答案。這一步驟的實現有賴于個人所掌握的程序性知識的運用。在數學運算法則中，涉及大量的概念和以概念所組成的規則。如果缺乏數學程序性知識，即使解題計劃是恰當的，也不可能得出正確的答案。

監控的過程貫穿在解題的全過程中，以保證解題的過程始終圍繞著終點目標進行。成功地監控解題的過程，取決于個體的元認知水平。元認知水平的高低，是區別良好與不良問題解決者的重要指標。

總之，數學應用題解題能力可以分解為運用陳述性知識、程序性知識和策略性知識的能力。問題表征涉及詞語知識、事實知識和問題類型知識等陳述性知識的運用，解題計劃的執行涉及數學運算規則等程序性知識的運用，而解題計劃的設計和監控則屬于元認知等策略性知識的運用。

3 數學應用題解題能力獲得中的變式練習

3.1變式練習的性質

無論是知識的學習還是技能的獲得，練習都是關鍵的一步，這已是一個不爭的事實。“沒有練習學生不可能學會算術、寫作或西班牙語，同樣，學生也不可能只是通過聽講解就能學會騎自行車”。［１］而“變式練習是知識轉化為技能的途徑”［２］，是程序性知識學習的必要條件。

所謂變式就是指概念的正例變化［３］，是適合規則的情境的變化［４］。學生只有在變化了的情境中應用規則才能在理解規則的基礎上習得規則。我國華東師范大學的心理學教授邵瑞珍先生認為程序性知識包括智慧技能、認知策略等，“從陳述性形式向程序性形式轉化的最重要教學條件是在相似的情境和不同的情境中練習”。［５］我國另一位心理學家，中國科學院心理所的朱新明教授則用實證的方法系統的論證了變式練習直接促進技能獲得的功能。他與美國心理學家Simon合作，從實踐應用的角度系統地研究了練習直接促進學生掌握知識和技能的機制，形成了示例演練學習理論，并創立示例演練教學法。其教學思想就是讓學生通過一系列精心設計的示例演練直接獲得產生式規則，不必經過陳述性知識階段。他們將教學內容劃分為各個單元，在各單元里分三步進行教學：概念學習的示例演練→規則學習的示例演練→解題學習的示例演練。對他們的研究進行分析我們不難發現，這種教學法實際上就是一個“變式練習”教學法。學生通過一系列精心設計的練習促使自己進行發現式學習，從而掌握技能的一種方法。雖說他們并沒有明確提出變式練習的概念，但我們不難看出其實質是變式練習在左右著整個學習過程，在學生技能獲得過程中起著決定性的作用，“利用各種樣例變式，引導學生對產生式的條件部分進行精細加工，以此提高學生的理解水平和解題技能”。［６］

可見，變式練習能有效的促進學生程序性知識的學習和技能獲得，是知識、技能轉化為能力的有效途徑，從而保證學生做更少的練習而獲得更牢固的知識、技能和能力。

3.2數學應用題解題過程中的變式練習

由于監控的過程貫穿于解題過程的始終，應用題的解題步驟實際上只是三個階段。無論是問題表征，還是設計和執行解題計劃，其關鍵問題應該是通過練習能夠迅速地形成條件與行動之間的聯系，即獲得不同類型應用題的產生式。比如小學數學中十分常見的相遇問題應用題，在練習過程中必須習得其產生式：

如果甲與乙同時從兩地以一定的速度相向而行，且甲與乙在某一時間后相遇；

那么兩地的距離為兩車速度之和與相遇時間的乘積。

如果僅僅改變速度與相遇時間而進行大量的練習，當然有可能使學生習得和鞏固產生式。但是這樣的重復練習，卻使學生陷入了題海之中，消耗了大量的時間和精力，還會使學生對解應用題產生厭煩的情緒，失去學習的動力。我們認為安排這類應用題的解題練習的關鍵，應該是安排變式練習。即保持相遇問題應用題產生式的本質不變，而適當改變產生式的條件。也就是說，安排的練習仍然是屬于相遇問題的應用題，卻改變了相遇問題應用題的例證。可能改變的是產生式條件中的速度，如已知甲的速度以及乙的速度比甲快或慢；或者改變產生式條件中的相遇時間，如乙在甲出發一定時間后以某一速度與甲相向而行，經一定時間后相遇。所以應用題解題過程中的練習，關鍵不在于練習的數量，而在于變式練習的類型是否齊全。

3.3變式練習對應用題解題的遷移作用

任何技能的學習，其最終目的都是為了能使學生的所學知識發生遷移，應用到新的情境當中，以解決實際問題。而變式練習不但是影響技能獲得的重要因素，還是影響技能遷移的重要條件。

所羅門（G.Salomon）和帕金斯（D.Perkins）1969年提出將遷移劃分為低路遷移和高路遷移兩種，如下表所示［７］：

從上表可以看到，在所羅門和帕金斯看來，變式練習是產生有效遷移的關鍵事件。華東師范大學的心理學教授邵瑞珍先生認為要使技能得到鞏固并產生遷移就要充分練習，而且“練習還必須有變化，只有經過在變化的情境中練習，認知策略等才能獲得遷移，才能靈活應用”，［８］促進這些知識的應用的關鍵是變式練習。之后，她與她的博士生一起通過對高中物理學習的實驗研究，系統地探討了變式練習在知識向技能轉化的過程中的作用。通過實驗發現變式練習是學生程序性編碼的重要影響因素，“變式的多少顯著影響遠遷移成績”，［８］并且與陳述性知識水平等存在一定程度的交互作用，影響程序性編碼。

應用題的變式練習，同樣是為了促進遷移。一旦應用題的條件發生了變化，學生仍然能夠迅速地對應用題的問題作出表征，并據此進行解題的計劃和執行此解題計劃。這時，如果學生將經過高度練習的解題技能自動地運用到新的情境中去，便發生了低路遷移；如果學生有意識地將經過練習的陳述性知識和程序性知識運用到新的情境中去，則發生了高路遷移。

4數學應用題變式練習的設計

4.1幾類特殊應用題解題規則的變式練習

從以上分析我們可以看到，變式練習對于學生解題技能形成和遷移起著極為重要的作用，所以我們要在特殊應用題教學中充分利用它們的作用促進學生解題技能的獲得和遷移。

小學階段有幾種特殊應用題，從表面上看，它們的解題規則很不相同。比如下面四類特殊應用題的解題規則分析如下：

（1）相遇問題：路程=兩車速度之和×相遇時間

（2）歸一問題：總量÷其中一個數量÷另一個數量=單量

（3）工程問題：1÷幾人每天所做的份數=合作的時間

（4）平均數問題：平均數=總數÷份數

我們將這些規則都轉化成乘法形式來看就會發現，其實這幾種應用題解題規則都從屬于一個包容性更大的上位規則——單量×數量=總量，只是它的變式而已。確切地說，僅僅只是規則中的幾個概念進行了變式，比如工程問題應用題，它就是將總量轉化成了單位“1”，而單量也是用分數來表示，并且單量要求先轉化，而時間就是數量。這樣一分析我們就會發現，其實它的解題規則就可以看成是單量×數量=總量，它們的解題規則的產生式就變成了一個：

P1如果 應用題題目中有總量、數量、單量中的至少兩個量，且其主導關系是倍數關系（乘除關系）

那么 我們判定這個應用題屬于總量問題應用題（暫時這樣稱呼）

P2如果 已經確定這個應用題是總量問題應用題

那么 清晰地辨別出總量、數量和單量

P3如果 題中沒有直接給出這些量

那么 先求出問題要求的量以外的兩個量

P4如果 已求出上面的兩個量

那么 根據規則“單量×數量=總量”求解

由此，我們可以看到，這幾種特殊應用題的安排其實只是在培養一種技能，而不是很多種。如果將它們看成獨立的技能來教學的話，無疑會給學生增加成倍的負擔，而且很容易導致學生記規則配對解題，將程序性知識當作陳述性知識來學習，不利于他們技能的形成和遷移。所以在設計變式練習時要考慮到題型的交叉和融合，以利于技能的統合。

4.2特殊應用題變式練習的分層設計

因為學習的是一種解題規則的變式，教學的重點就由對幾種規則的學習轉到學生概念辨別能力的培養。所以，我們在教學時要巧妙設置概念變式，將多種技能學習歸結為一種最一般的技能學習；并在此基礎上設置多重變式練習，根據不同題型的特點設置變式練習，使學生形成一般性編碼，更利于產生遷移而應用于實際問題的解決。

比如在教學工程問題類應用題時，我們要首先設置一些概念變式，比如對這幾個量的表述改變，讓學生辨別，關鍵是讓學生從認為總量等是整數的思維定勢中解放出來，遷移到分數領域中。接下來就是讓學生在把握總規則單量×數量=總量的基礎上將這種類型應用題解題技能納入到原有認知結構中。然后設置針對這種題型的變式練習，使學生技能得到進一步的鞏固，并遷移到其它幾種題型中。如：

首先設計2至3題學生熟悉情境中的工程問題應用題變式練習，使學生能進一步鞏固技能。如：一項工程，甲隊單獨做要15小時完成，乙隊單獨做要30小時完成，甲乙合作要幾小時才能完成？如果甲隊先做5小時，再兩隊合作，還要幾小時才能完成？通過這樣的淺層變式練習使學生進一步鞏固所學技能。

然后設計幾題深層次變式練習，引導學生產生技能的遷移。如：往水池里放水，如果單開進水管，要8小時將空水池注滿；如果單開出水管要12小時將滿水池水放完；如果在空水池情況下兩管齊開，要幾小時才能將水池注滿？這也是一種工程問題的應用題，只是將學生熟悉的情景變化，但這樣設計，學生通過這樣的練習可能就將先前形成的加法定勢打破，從而開放他們的思維。然后可進一步設計下組練習，如：有A、B兩輛汽車，分別在相距800公里的甲乙兩地。A車從甲地開往乙地要10小時，B車從乙地開往甲地要15小時，如果兩車同時從兩地相向開出，幾小時能相遇？鼓勵學生用最簡單的方法解答，這樣便促使學生將所學知識遷移，在解這個問題的時候就將工程問題解法的外延擴大到了類似的新情境，將所學知識形成一般性編碼，而不僅僅局限于解決與示例相似的情境性問題，從而將幾類特殊應用題解法納入到一個技能體系中，形成更利于遷移的一般性技能。

由此可見，妥善安排變式練習，可以將幾種看似相互獨立的技能統合為一種技能，從而變多種技能學習為一種技能學習，切實減輕學生學業負擔的同時避免學生將程序性知識作為陳述性知識來學習，死記規則配對解題，并且更有利于學生技能的鞏固和遷移。

參考文獻：

［1］Educational Psychology著.姚梅林等譯.The Theory and Practice，7th ed.p.171.Robert Slavin.人民郵電出版社，2004，（1）：7.

［2］［3］皮連生主編.教育心理學.上海教育出版社，2004，（1）.8：137.

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［5］邵瑞珍主編.教育心理學.上海教育出版社，1997，（2）.6：117.

［6］許永勤，朱新明.關于樣例學習中樣例設計的若干研究，2000，（2）.11：47.

［7］皮連生主編.教育心理學.上海教育出版社，2004，（1）.8：266.

［8］邵瑞珍主編.教育心理學.上海教育出版社，1997，（2）.6：117.

［9］高明，邵瑞珍.知識向技能轉化的影響因素.應用心理學，1997，（1）.3：40-46.