韋達定理的若干應用

摘 要：韋達定理及其逆定理是初中數學極為重要的基礎知識之一，在中學數學中應用較為廣泛，在一些數學競賽中常出現巧用韋達定理來解決問題。本文從六個方面來談韋達定理及其逆定理的應用。

關鍵詞：韋達定理 韋達定理的逆定理 初中數學競賽 一元二次方程

一元二次方程的根與系數關系定理是韋達定理的特殊情況，它的逆命題也是正確的。初中階段我們不妨稱之為韋達定理和逆定理。

韋達定理及逆定理是初中數學極為重要的基礎知識之一，在解決初中數學的許多問題中，它是有力的工具，在初中數學競賽中巧用韋達定理及逆定理來解的競賽題屢見不鮮。本文通過六個方面的應用探討如何利用韋達定理及逆定理解題目的方法和技巧。

一、求值，當所求代數式是某個一元二次方程兩根對稱時，可應用韋達定理使計算簡便。

說明：1.求代數式值的問題常規方法是先求出代數式中求知數的值，然后代入。此例如按上述方法解將陷入復雜的計算，沒有用韋達定理求解簡便。

2.這種解法必須能熟練地將要求的代數式化為用α+β和αβ表示的形式。

3.這種方法一般適用于求關于方程根的對稱式。

分析：要求7p+2q的值，應先求出p、q 的值，而此例中方程的兩根都是質數，由韋達定理知兩根之積為74，故必有一根為偶數，而2是唯一的偶質數，則方程兩根是2和37，再結合 p、q是自然數可求p、q的值。（解略）

二、構造一元二次方程，當問題中出現a+b=m、ab=n的形式時，可用韋達定理和逆定理把a、b看作t■-mt+n=0的兩

∴ 當m=-7或m=3時，拋物線與x軸兩個交點間距離是3。

說明：此類問題利用二次函數圖像與x軸交點橫坐標是函數值為零時自變量的值，即方程的根，再利用韋達定理把圖像與x軸交點的距離與函數解析式聯系起來。

四、研究一元二次方程的整數解，此法主要是應用韋達定理結合題意把問題轉化為不定方程組或不等式，再進一

步求不等式的整數解，以達到解決問題的目的。

六、證明不等式。

例7. 已知：a、b、c為實數，且a+b+c=0，a·b·c=1，求證：a、b、c中必有一個大于 。

分析：已知條件是三個數的和與積，把它轉化為兩個數的和與積的問題，然后利用韋達定理解決。

證明：由a+b+c=0a·b·c=1知a·b·c＞0，且a、b、c中有一個正數兩個負數，不妨設a＞0，b＜0，c＜0，

參考文獻：

［1］吳志翔.中學數學教學參考書證明不等式［M］.1982年02月第1版.

［2］唐耀庭.一元二次方程的特殊解法［J］.中學生數理化初中版，2007年Z1期.

［3］楊茜，鄭建平.談韋達定理的應用［J］.成都教育學院學報，2002年01期.

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