中學數學開放題教學及其對策

摘要： 真實的課堂教學必須是開放的。課堂教學是中學一線教師的基本優勢，它在一定程度上確證了我們生動的教育現場。本文力圖通過扎實有效的個案教學呈現中學數學開放題教學過程及其課堂策略，并通過對教學實踐的分析與反思，提煉出具有創新性的教學方法，從而培養學生的良好的思維品質和開放的數學觀。

關鍵詞： 課堂教學 開放題 思維能力

長期以來，傳統數學教學存在著兩種常見的宿弊，一是缺乏開放機制，對教材內容原型的輸出，只局限于封閉式傳授，沒有揭示出其中潛在的動態因素和開放性聯系。二是缺乏實踐意識，只注重結論，缺乏結論傳授過程中思維能力的訓練和結論之后的延伸鞏固。因此，面對以上狀況，必須積極引入開放題加強數學教學的實踐性。近年來，本人對中學數學開放題教學進行了一些探索。具體做法分如下三個層次來談。

一、展示思維過程

真實的數學思維過程是數學教學中最具有教育意義的成份。而數學開放題的精髓就在于注重解答的過程。這個過程實質上就是學生思維過程的體現。目前中學數學教材中，習題基本上是為了使學生了解和牢記教學結論而設計的，在這種情況下，學生在學習過程中產生了以死記硬背代替主動參與，以機械方法代替智力活動的傾向。因而在教學中要適當引入開放題，通過多種不同的解法，或多種可能的解答，充分展示思維過程。如我在教授等腰三角形的性質定理證明時，是這樣設計的：

師：請同學們認真觀察模具，然后回答看到等腰三角形的什么特性。（學生在觀察過程中，教師不斷將模具做些變化）

生：等腰三角形的兩個底角折疊后可重合。

師：兩角重合從大小角度來講是什么關系？

生：等腰三角形的兩個底角相等。

師：請同學們想一想如何證明自己所得的結論？

生：作頂角的平分線，證明兩三角形全等（通過觀察到的折線直觀啟發）

師：同學們回答得非常好。（與學生共同完成證明過程后，又問）能不能將這條輔助線變成其它的線？

生甲：作底邊上的中線。

生乙：作底邊上的高線。（教師肯定學生的回答）

師：請同學們自己用后兩種方法證明，并回答這三條輔助線的位置關系如何？

生：互相重合。

師：通過上面大家的證明，同學們不僅懂得了等腰三角形兩底角的關系，更重要的是還發現了等腰三角形的“三線合一”的性質。

這樣，使學生在樸素的問題情境中，通過觀察、操作、思考、交流和運用，探討命題的內部關系和規律，進而掌握命題的實質，牽一發而動全身。同時通過學生思維的充分暴露和展示，使教師能夠掌握學生思維的進展程度和層次，并作出相應的對策，從而優化整個教學過程。

二、多角度審視命題

開放題相對于傳統的封閉題而言，其特征是題目的條件不充分，或者結論不確定。也正因為這樣，開放題的解題策略也往往是多種多樣的。對于這類問題，我通常通過啟發誘導，要求學生多角度審視命題，充分發揮輻射性思維，找出多維結論。下面是我在教學中運用的一個開放題實例。

求證：順次連接平面四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。

引導學生將本題證畢。（見圖）

師：證明本題的關鍵是什么？

生：作輔助線，即連結四邊形的兩條對角線。

師：為什么要這樣作輔助線？

生：應用三角形中位線定理可證明是平行四邊形。

師：這兩條對角線有沒有什么限制？

生：沒有。

師：連結四邊中點而得的四邊形，若變成矩形，菱形、正方形，兩條對角線應該作什么變化？（學生根據上面平行四邊形的證明過程，認真思考，討論，操作后回答）

生甲：兩條對角線互相垂直時，是矩形。

生乙：兩條對角線相等時是菱形。

生丙：兩條對角線相等且互相垂直時是正方形。

師：同學們能證明自己的結論嗎？（這時，所有的學生都會迅速模仿本例的證明法去證明，同時老師不失時機地加以指導，從而驗證了學生的回答是正確的。教師總結。）

這樣通過對結論的窮追不舍，使學生在開放性結論中加強了對問題和知識點的把握，并且使結論不斷豐滿起來，活躍起來。同時培養了學生發散性和探究性思維能力。

三、遷移延伸結論

數學開放題的一個重要特點和功能是發展性和創新性。在教學中學生對一個命題有了相對結論之后，我往往要求學生趁熱打鐵，將結論進行順向遷移延伸，或在由結論而重新設定的情境中尋找新的結論。（如圖）

已知ABC的角平分線BM、CN相交于點P，求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。

教師引導學生證畢此題后，要求學生進一步思考：本結論還能得到哪此結論（用法）？

學生進一步思考后，得出：

1.點P也在第三個角的平分線上。

2.三角形三條角平分線必相交于一點。

3.如何作一點，使其到三角形三邊距離相等。

又如對梯形中位線定理的證明（如圖），將梯形的中位線轉化成某一個三角形的另一邊，一定過梯形另一腰的中點，梯形的一個底應在三角形第三邊上，得出梯形中位線與三角形中位線的關系：將梯形中位線公式中的上底取O，公式變成了三角形中位線公式。這種開放題的訓練，能夠引導學生由結論去發現新的結論，從而培養學生去探究新知，探求新的思維方法和創新能力。

幾年來的實踐證明：數學開放題教學，能引導學生積極參與，使課堂教學充滿生機和活力，有利于培養學生的探索能力和創新精神，有利于學生形成全面、深刻的數學觀。總之，數學教學向來無定法可循，數學開放題作為一種題型在實踐中的效果如何，取決于教師會不會隨機活用。只要注意開放題問題開放的適度性與合理性，避免問題所涉及知識的隨意性，只要符合教學實際，提高學生的數學思維能力，就一定是行之有效的、好的教學模式。