在數學教學中如何培養學生的悟性

摘 要： 悟性是人們在從事教學活動過程中所顯示出來的洞察問題，解決問題的能力。數學教師則通過創設情景，設疑釋疑；利用直覺洞察問題的本質；類比聯想；轉換思維角度等方法在解題教學中培養學生的數學悟性，提高學生的解題能力。

關鍵詞： 數學教學 培養 悟性

悟性是人們在從事教學活動過程中所顯示出來的洞察問題、解決問題的能力。它是學習靈感和創新思維產生的前提。由于思維形成最有效的辦法是通過解題來實現，因此，在解題過程中，注重培養學生的悟性，可以提高他們的綜合素質和探索處理問題的能力。下面本人結合教學實踐，談談在數學教學過程中如何培養學生的數學悟性。

1.創設情景，設疑釋疑

問題是思維的出發點，也是悟性形成的催化劑。心理學研究表明，創設問題情景可以激發學生的求知欲望，促使學生形成一個解決問題的合適的思維方向。如果經常利用問題設疑，鼓勵和激發學生獨立思考，積極探索，就能培養學生的數學悟性。

例1：已知x、y為共軛復數，且（x+y） -3xyi=4-6i，求x、y。

創設情景：由

（x+y） =4-3xy=-6 x+y=±2xy=2 x=1±iy=1 x=-1±iy=-1?芎i

設疑：以上解法是否正確，為什么？學生認為不正確，因為x、y不是實數，需設x=a+bi、y=a-bi（a、b∈R）再分離實部和虛部求解。但意料之外的是第一種方法求得的結果正確，原因何在？

釋疑：審視條件發現，x與y共軛，所以x+y、xy∈R，于是解法中加此說明不失為妙解。

例2：當實數k取何值時，方程組

k（x +1）+1x1-y=1x -y =1

有唯一實數解？

分析：若采用常規解法，消元為只含有一個未知數的方程求解，思維受阻。

創設問題情景：觀察方程組中每一個方程的特點，以-x代x方程組解不變，從而聯系題目，由方程組結構特點，若（x，y）是方程組的一個解，則（-x，y）一定也是它的一個解，故欲使方程組有唯一的解，只須x=0即惟一的解的結構形式為（0，y ）問題得解。

2.利用直覺，洞察問題的本質

數學問題中靈感的迸發離不開直覺的思維，因為直覺思維在處理問題過程中，對問題作全面思考之后不經詳盡的推理，直接觸及對象的本質，迅速得出預感性的判斷。解題教學中若引導學生對數學問題深入細致地觀察分析，洞察其本質、規律，可以啟發學生產生突發性思維靈感，悟性便在洞察中產生。

例3：設x、y為正實數，a、b為正常數 + =1。

求：u=x+y的最小值。

分析：本題含有變量x、y且x、y滿足 + =1，由此聯想到求條件最值的各種途徑，問題得解。

解法1：直接代入法。因為a，b，x，y∈R+，又 + =1，

所以x＞a，y＞b且y= 。將y= 代入u=x+y中得U= +x=x- +1+b＞2 +a+b，

所以：當x-a= ，即x=a+ ，y=b+ 時，U =a+b+2 。

解法2：換元法。因為a，b，x，y∈R， + =1，

所以令 =cos t， =sin t，t∈（0，-π/2），

于是由u=x+y=asec t+bcsc t=a+b+atan t+bcot t≥a+b+2

當atan t=bcot t時，即x=a+ ，y=b+ 時，U =a+b+2 。

3.類比聯想

類比聯想是指由某一命題的條件或結論，就其形態性質引起的與其相似的已有知識的聯想。數學是一個具有內在聯系的有機整體，各分支、部分都是互相聯系、互相滲透的解題方法，思路更是如此，因而應有意識地教給學生解題方法，以提高學生分析問題、解決問題的能力，促進其悟性的形成。

例4：已知△ABC是銳角三角形，求證：tanA#8226;tanB#8226;tanC≥3 。

分析：由本題結論聯想到熟知的三角公式：若а+β+?奕=π，則tanа+tanβ+tan?奕＝tanа#8226;tanβ#8226;tan?奕，以及代數中的重要不等式a+b+c≥（a，b，c∈R），將有助于問題的解決。

4.轉換思維角度

學生都習慣于從某一角度探索問題，這往往限制了思維的開拓，阻礙了數學悟性的形成。因此，在教學中要有意識地要求學生從“換一種說法”的角度去轉換數學命題，從而培養學生數學悟性和靈感。

例5：給定實數a（a≠0，a≠1），設函數y= （其中x∈R且x≠ ），求證：經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸。

分析1：反證法。假設存在圖象上兩點M （x ，y ），M （x ，y ），M M ∥X軸，則x ≠x 且y ≠y ，由此得出a=1，與已知矛盾。

分析2：直接代入，設M （x ，y ），M （x ，y ）為圖像上兩個不同的點，由x ≠x 推得y －y ≠0。

參考文獻：

［1］李沛，羅玉成.創造性思維與數學教學.廣西師范學院學報（自然科學版），2002，（01）.

［2］周根龍.讓學生在研究中學習.中學數學教學參考，2001，（04）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”