怎樣解排列組合應用題

在解排列組合應用題時，通常要考慮五個方面的問題，下面通過便對五個方面逐一說明。

一、 重視用加法原理或乘法原理解題

例1： 某幢八層大樓的底層電梯上了8名乘客，各自到某一層下電梯，問有多少不同下法？

解：在8名乘客中，對乘客1來說，有在二樓下、三樓下……八樓下這7種可能性，其他7名乘客同樣如此。所以按乘法原理，共有78種不同下法。

二、 如何判斷是排列問題還是組合問題？

例2： （1）10個人互贈照片，要多少張照片？（2）10個人相互下棋，要下多少盤棋？

解:（1）“甲贈乙照片”是一個選擇結果，如果交換這個結果中的甲、乙位置，便得“乙贈甲照片”，這是另一回事，所以本例問題，結果總數是A210.

(2)“甲與乙下棋”同“乙與甲下棋”是一回事，所以本題是組合題，結果總數是C210.

三、 復雜問題的分解與綜合

一件復雜工作往往可以分幾步做，即它是幾件依次進行的簡單工作的合成，要計算完成這件復雜工作的方法數，就當用乘法原理。有時一件復雜工作實際上是幾種互相獨立地工作的合并，每種工作方式都能獨立完成這工作，要計算完成這件復雜工作的方法數，應當用加法原理。

例3 ：某生物考察隊共15人，其中有6人熟悉當地環境，可充當向導，問一共有多少種選法？

解 ：本題由于有“至少要有2向導”這個附加條件，情況就復雜化了，所以必須對這個問題進行分析。

選拔先遣組有四種獨立方式，每種方式又可分兩步進行：（1）選2名向導，再選3名不熟悉環境的；（2）選3名向導，再選2名不熟悉環境的；（3）選4名向導，再選1名不熟悉環境的；（4）選5名向導，不選不熟悉環境的人。

將以上分析結果綜合起來，得到先遣組選法總數為：

C26C39+C36C29+C46C19+C56C09=2121(種)。

四、 解有附加條件的應用題的直接法與間接法

仍然考慮例3上面所用的解法，可以稱為直接法。現在改用間接法來解它。

如果我們選不考慮“至少要有2名向導”這個附加條件，先遣組的選法顯然有C1515種，然后剔除不符合附加條件的那些選法——至多只有1名向導的選法，即所選5人中沒有向導或只有1名向導，這樣得到先遣組選法總數為：

C155-C06C59-C16C49＝2121（種）。

其實，間接法也是加法原理的應用，不過是把n1+n2=n改為n1=n-n2罷了。一般來說，當不符合附加條件的選擇分支數較少時，用間接法比較簡便。

五、 防止重復、遺漏

例4 ：有9本不同的書，（1）平均分給A、B、C三人，有多少種分法？（2）平均分三攤，有多少種分法？（3）分為三攤，一攤5本，另外兩攤各2本，有多少種分法？

解（1）任取3本分給A，有C39種方法，再在剩下的6本書中任取3本給B，有C36種分法，最后三本留給C，所以共有C39 C36 C33種分法。

（2）上題A、B、C三人是可分辨的，而“三攤”是不予分辨的，不必考慮順序，所以要把上題的結果總數除以A，即：平均分三攤，有C39C36C33/A33種方法。

（3）任取5本放一攤，有C59種方法，再把剩下的4本書平均分兩攤，有C24C22/A22種方法。所以本題分法總數為C59C24C22/A22。

例4屬于一類特殊的排列組合問題，叫做分配問題，就是把r個可分辨的球按要求投入n個盒子，這些盒子也許可分辨，也許不可分辨，這兩種情況必須區別清楚，否則容易造成重復。

（江西吉安一中）

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