柯西不等式證明過程的教學價值探微

普通高中課程標準試驗教科書數學選修4-5《不等式選講》中通過猜想的形式引入了一般形式的柯西不等式:設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b2，…，bn是實數，則(a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) ≥(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2，并給出了證明及其應用.

在教學過程中，對柯西不等式的證明，筆者和同學們一起在課堂上廣泛地探究，深入地挖掘，取得了極大的收益，獲得了良好的教學效果.現整理如下:

(為行文方便，先給出教材中的分析過程)

教材中說到:由于不等式中括號內含較多的項，直接展開并比較左右比較麻煩，我們采用下面的證法.

如果設A = a12 + a22 + … + an2，B = b12 + b22 + … + bn2，C = a1b1 + a2b2 + … + anbn，那么不等式就是AC ≥ B2，這正好與二次函數y = Ax2 + Bx + C的判別式B2 - 4AC密切相關.這就啟發我們可以通過構造二次函數并通過討論相應的判別式來證明不等式.

一#65380;證明中蘊藏的數學思想方法

上述文字具有豐富的內涵，包含著許多常用的重要的數學思想方法，仔細體會這些內容，挖掘這些思想方法，會對我們的學習具有重要的指導意義.在教學過程中，我們體會到上述文字至少包含以下數學思想方法.

1. 換元思想

在解題過程中，當一個問題的敘述比較繁瑣，式子的結構特征比較復雜時，如果我們能夠通過分解，進行換元，就能夠把復雜的問題變成幾個簡單的問題，從而使得復雜問題的結構特征變得簡捷#65380;直觀#65380;形象，這樣更加有利于問題的解決.例如:求式子(lg3)lg3#8226;3lg(log10)的值.此題形式繁瑣，結構復雜，若就題驗算下去，就會出現“僵持”的局面，無法得出最后結果.但若通過換元，巧妙一設，局面便會豁然開朗.設x = (lg3)lg3，y = 3lg(log10)，則lgx = (lg3)(lglg3)，lgy = lg(log10)#8226;lg3，所以，lg(xy) = lgx + lgy = (lg3)(lglg3) + lg(log10)#8226;lg3 = (lg3)#8226;(lglg3 - lglg3) = 0. 所以，xy = 1，即原式的值為1.

2. 聯想思想

分析中說到，“這正好與二次函數y = Ax2 + Bx + C的判別式B2 - 4AC密切相關”.這句話體現了我們學習過程中進行廣泛聯想的思想方法. 聯想是由當前感知的事物特征回憶起有關另一事物相似#65380;相近或相同特征的心理現象，聯想可以溝通數學對象中未知與已知#65380;新知與舊識間的聯系，它不僅對掌握數學知識，發展思維能力有積極意義，而且有利于提高解題速度，提高解題能力. 常見的聯想方法有類比聯想法#65380;接近聯想法#65380;關系聯想法#65380;逆向聯想法和橫向聯想法等. 聯想，是記憶的延伸，是解決數學問題的法寶之一.由此及彼的聯想，常能拓寬我們的視野，啟發我們的思維;縱向橫向的聯想，往往能迸發出創造性思維的火花.在學習過程中， 我們在理解記牢基礎知識以后，在實際應用中，對于具體問題，特別是較為復雜的問題，我們更多的是通過聯想，將問題進行轉化，變為簡單的問題，變為我們熟悉的問題，從而與我們所學的基礎知識結合起來，將問題解決.例如: a + b = 1是我們在學習中經常遇到的一個式子，以它為條件，我們能產生哪些聯想呢?

聯想之一:由a + b = 1 = 2 ×，聯想到a， ，b成等差數列，如果設公差為 d，就可設a = - d，b = + d.

聯想之二:由a + b = 1，聯想到sin2 θ + cos2 θ = 1，從而可設a = sin2 θ，b = cos2 θ.

聯想之三: 由a + b = 1，聯想到直線方程x + y = 1.

聯想之四: 由a + b = 1 = +，聯想到真分式，可設a =，b =.

愛因斯坦說過，“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切，推動著進步，而且是知識進化的源泉”.解決數學問題如能通過數形聯想，把問題中的隱含條件挖掘出來加以利用，則常常會使問題的解答避繁就簡，化難為易，收到出奇制勝的效果.

3. 構造思想

分析中說到，“這就啟發我們可以通過構造二次函數并通過討論相應的判別式來證明不等式”.這句話體現了我們在學習中常用的構造思想. 所謂構造法，就是根據題設條件和結論的特殊性，構造出一些新的數學形式，并借助它認識與解決原問題的一種思想方法.構造法解題是一種富有創造性的思維方法，構造思想 ，充分滲透了猜想#65380;歸納#65380;試驗概括#65380;特殊化等重要的手段 ，靈活應用 ，可以培養學生的創造性思維 ，提高分析問題和解決問題的能力;巧妙地構造可以獲得新穎#65380;簡捷的解法 ，使原本很抽象的數學問題變得通俗易懂 . 應用好構造思想解題的關鍵有二:一是要有明確的方向，即為什么目的而構造;二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合. 就構造對象來看，常用的有構造命題#65380;構造表達式#65380;構造幾何體(圖形)等.在構造命題中又有構造等價命題和輔助命題之別;在構造表達式中又有構造函數#65380;構造方程#65380;構造數列#65380;構造二項展開式等.

4. 分類討論思想

在證明過程中，分a1 = a2 = a3 = … = an = 0，b1 = b2 =b3=… = bn = 0和a1，a2，a3，…，an中至少一個不為0進行了解答.這里利用了分類討論的思想方法. 分類討論思想是指把所要研究的數學對象劃分為若干不同的情形，然后再分類研究和求解的一種思想方法，其實質是把整體問題化為部分問題來解決. 很多數學問題不僅在涉及的范圍上帶有綜合性，而且就問題本身而言也受到多種條件的交叉制約，形成錯綜復雜的局面，很難從整體上著手解決，這時可從“分割”入手，化整為零，各個擊破，最后達到整體解決的目的.

在應用這一思想時，一定要搞清引起分類討論的原因，尋找正確的分類討論的方法和步驟，做到無遺漏，不重復.

5. 轉化思想

當我們遇到一個比較復雜的式較難解決的問題時，一般都不是直接解原題目，而是將原題進行分解轉化，轉化為一個已經解決的或比較容易解決的問題，從而使原題得到解決.

轉化這種重要的思維策略有著廣泛的應用，在數學知識體系中充滿了轉化， 在解題中轉化更是一種重要的策略和基本的手段.通常的轉化有下面幾種: 問題情境的轉化， 即把需要解決的問題從一個陌生的情境轉換成熟悉的#65380;直觀的#65380;簡單的問題; 特殊與一般的轉化; 數量與圖形的轉化; 命題間的映射轉化; 構造新命題的轉化; 參數與消元的轉化; 條件強弱間的轉化; 命題結構形式的轉化; 等價與非等價的轉化等. 轉化的本質特征是知識和方法的遷移，這需要我們在學習中注意知識間的聯系與演變，不斷開拓思路，不斷收集#65380;積累聯想#65380;轉換的實例， 逐步掌握數學的基本思想方法，由簡單到復雜，由低級到高級，由模仿到創新.

二#65380;證明的其他方法

對二維形式的柯西不等式，教材中從其幾何意義出發，給出了其向量證法，并給出了二維柯西不等式的向量形式.事實上， 這一形式也適用于一般形式的柯西不等式，即一般形式的柯西不等式也可以模仿二維形式的柯西不等式的向量證法給出證明.這一點在課堂上應向學生提出，并請同學們自己完成.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”