冪級數和函數的解法綜述

【摘要】 通過具體例子，介紹了冪級數求和的若干種方法: 定義法#65380;分項組合法#65380;逐項求導與逐項積分法#65380;代數方程法#65380;微分方程法#65380;公式法等.

【關鍵詞】 冪級數;和函數;微分

冪級數求和是一類難度較大，技巧性較高的問題，一般要綜合運用定義法#65380;分項組合法#65380;逐項求導與逐項積分法#65380;代數方程法#65380;微分方程法#65380;公式法等技巧才能解決. 本文總結了求冪級數和函數的多種方法.

1. 定義法

對冪函數 anxn，若前n項和函數列{Sn(x)}有極限，即 Sn(x)存在，則此冪級數收斂，且 anxn =Sn(x).

例1 求冪級數 arn的和，其中a ≠ 0，|r| < 1.

解 當|r| < 1時，s(r) =Sn(x) =(a + ar + … + arn) = =.

2. 分項組合法

將已知級數的通項拆項組合 ，再計算所拆得各項的和函數.

例2 求和函數 (2n + 1)xn .

解 易得收斂域(-1，1).設s(x) =(2n + 1)xn，則 s(x) =2nxn +xn.

其中 2nxn = 2x nxn-1 = 2x xn′ = 2x ′ =，xn =，

于是s(x) = + =，-1 < x < 1 .

例3 求s(x) = xn.

解 易知此級數的收斂域為(-∞，+∞).

當x = 0時，s(x) = 0;

當x ≠ 0時，s(x) = -+ x2+ + = e-xx2 + 1 + -.

s(x) = 0，0，e-xx2 + 1 + -，x ≠ 0.

3. 逐項求導與逐項積分法

在函數項級數一致收斂的前提下 ，對其進行逐項微分或積分后求和 ，然后再反過來求一次積分或微分 ，便可得到原級數的和函數.

例4 求和函數 n(n + 1)(n + 2)xn.

解 設s(x) =n(n + 1)(n + 2)xn ，x∈(-1，1)，

xs(x) =n(n + 1)(n + 2)xn+1 .

兩邊積分，得

xs(x)dx =n(n + 1)xn+2 = x2 n(n + 1)xn.

設s1(x) =n(n + 1)xn ，則有

s1(x)dx = nxn+1= x2 nxn-1 .

令s2(x) =nxn-1，有 s2(x)dx = nxn =.

求導得s2(x) =，即

s1(x)dx= x2s2(x) =，求導得s1(x) =.

xs(x)dx = x2s1(x) =，xs(x) =，

故s(x) =，x∈[-1，1].

例5 求級數f(x) = 的和函數.

解 易知收斂區間為[-1，1]，令s(x) = xf(x) =

，s′(x) = ，s″(x) =xn-1 =，

故s′(x) = s(t)dt=dt = -ln(1 - x).

s(x) =s′(t)dt =[-ln(1 - t)]dt = (1 - x)ln(1 - x) + x.

所以f(x) =ln(1 - x) + 1，|x| ≤ 1，且x ≠ 0;當x = 0時，f(x) = 0.

4. 代數方程法

建立以所求冪級數的和為變量的代數方程 ，并解之.

例6 求冪級數 nx2n的和函數s(x).

解 易知此級數的收斂域為(-1，1)，

s(x) = x2 + 2x4 + 3x6 + … + nx2n.

x2s(x) = x4 + 2x6 + 3x8+ … + nx2n+2.

(1 - x2)s(x) = x2 + x4 + x6 + … =.

故 s(x) =，|x| ≤ 1.

5. 微分方程法

找出欲求和級數所滿足的微分方程及定解條件 ，求解該方程.

例7 求冪級數的和函數.

解 因為= = 0，

所以R = ∞，收斂域為(-∞，+∞).

令s(x) = s′(x) ==

，

所以s(x) + s′(x) = =

= ex.

即s(x) + s′(x) = ex，s(0) = 1.(一階線性微分方程)

解得 s(x) =(ex + e-x)，

故有 = (ex + e-x).

例8 求冪級數的和函數(-∞ < x < +∞).

解 令s(x) = ，則

s′(x) = ，

s″(x) == - = -s(x)，

即s″(x) + s(x) = 0，且s(0)-1，s′(0) = 0(二階線性常系數齊次微分方程).

解得s(x) = cos x，

故有 = cos x.

6. 公式法

利用基本初等函數的冪級數展開式求和. 若冪級數通項系數的分母是階乘表示式，可考慮用正弦#65380;余弦#65380;指數函數的冪級數進行計算.

例9 求和函數xn.

解 收斂域為(-∞，+∞).

xn= xn + xn =

n +n =

+ e =

n + n+ e =

2 n-2+ n-1 + e = + + 1e ，x∈(-∞，+∞).

例10 求和函數.

解 收斂域為[-8，8)， =n.

注意到: = -ln(1-y)，(-1 ≤ y < 1)，

所以 = -ln1 - =

- ln1 -，-8 ≤ x < 8.

7. 柯西方法

如果級數 an與 bn都絕對收斂，作兩個級數的乘積 cn，其中cn = a0bn + a1bn-1 + … + anb0，(1)

則 cn也絕對收斂，且必有 cn =an#8226; bn.

例11 求和s(x) = 1 + + + … +xn，|x| < 1.

解 令an = xn，n = 0，1，2，|x| < 1，則

an =xn =(|x| < 1)為絕對收斂級數.

令 bn為-ln(1 - x)的泰勒級數:

-ln(1 - x) = 0 + x + + … + + …，|x| < 1

此級數于(-1，1)內是絕對收斂的.

由(1)式得:cn = 1#8226;+ … + x#8226;+…+ xn-1 #8226;x + xn + 0 = 1 + + + … +xn，

故s(x) = cn =an#8226; bn= .

此外，求冪級數和函數還有差分算子求和#65380;微分算子求和等方法.

【參考文獻】

[1] 華東師范大學數學系. 數學分析第三版[M]. 北京:高等教育出版社，2002.

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學第四版[M]. 北京:高等教育出版社，2006.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”